Θεώρησε τετράπλευρο κυκλικό q = DEFG εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O,r). Τα σημεία τομής K, J των απέναντι πλευρών του (q) ορίζουν ευθεία (a).
[1] H ευθεία (a) είναι η πολική του σημείου τομής Α των διαγωνίων {DF, EG} του q.
[2] O κύκλος (d) με διάμετρο JK είναι ορθογώνιος στον περίκυκλο c του q.
[3] Tα μέσα {X, Y} των διαγωνίων του q και το κέντρο N του κύκλου (d) είναι συγγραμμικά.
Πράγματι, απο την συζήτηση στο Πολική έπεται ότι η πολική του σημείου J είναι η ευθεία KA. Η καθετότητα αυτής της ευθείας στο OJ συνεπάγεται ότι η τομή της M με την OJ είναι το αντίστροφο του J ως προς την αντιστροφή στον περίκυκλο c. Έτσι ο κύκλος (d) διέρχεται από δύο αντίστροφα σημεία J και M, άρα είναι ορθογώνιος στον (c).
Το σχήμα έχει και μιά άλλην άποψη. Ξεκινά κανείς με δύο σημεία B, C στην πολική JK του σημείου A. Κατόπιν φέρει τις τέμνουσες ευθείες BEAG και CDAF σχηματίζει το τετράπλευρο q = DEFG κτλ..
Τότε ο κύκλος (d) εξαρτάται από την θέση των σημείων B, C στην πολική του A, όμως είναι πάντοτε ορθογώνιος στον (c) καθώς επίσης και στον (f), που είναι το αντίστροφο της πολικής του A. Έτσι ο (d) είναι μέλος της δέσμης κύκλων που είναι ορθογώνιοι στους (c) και (f). Συνεπώς διέρχεται από δύο σταθερά σημεία H και I, που είναι τα οριακά σημεία της δέσμης της παραγόμενης απο του κύκλους (c) και (f). Σημείωσε ότι η ορθογωνιότητα των κύκλων (c) και (d) συνεπάγεται ότι η πολική του κέντρου N του (d) είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων (c) και (d) και ότι η ευθεία αυτή διέρχεται διά του A.
H τελευταία ιδιότητα είναι συνέπεια του θεωρήματος του Newton.
Σημείωσε ότι ο κύκλος (f) είναι ο τόπος των μέσων των χορδών του (c) διερχομένων διά του A.
Στο Τετράπλευρο κυκλικό εξετάζονται επιπλέον ιδιότητες του κυκλικού τετραπλεύρου που συνδέονται με τον κύκλο (d).
Στο Πολική (ΙV) εξετάζεται το ίδιο με εδώ θέμα από λίγο διαφορετική σκοπιά.
Στο Θεώρημα της πεταλούδας περιέχεται μιά εφαρμογή των ιδιοτήτων που εξετάζονται εδώ.
Το θεώρημα του Newton γιά τα μέσα των διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου δες το αρχείο Θεώρημα του Newton .
Στο Ορθοδιαγώνιο από κυκλικό εξετάζεται η δημιουργία ενός ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου από ένα κυκλικό, στην οποία γίνεται επίσης χρήση του σημείου Η.
Mε το παρόν σχήμα σχετίζεται και ένα γενικότερο που αφορά σε τετράπλευρα. Αυτό εξετάζεται στο Θεώρημα Pascal γιά τετράπλευρα .
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Κυκλικό τετραπλεύρου βασικές ιδιότητες ![[0_0]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_0_0.png)
![[0_1]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_0_1.png)
![[1_0]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_1_0.png)
![[1_1]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_1_1.png)
![[2_0]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_2_0.png)
![[2_1]](CyclicProjective_files/CyclicProjective_0_2_1.png)