Η παραβολή μπορεί να χαρακτηρισθεί ως γεωμετρικός τόπος (c) των σημείων P που απέχουν ίσες αποστάσεις PF = PA, από σταθερό σημείο F (εστία) και σταθερή ευθεία a (διευθετούσα).
Δοθήσης λοιπόν της εστίας F και της διευθετούσης (a) της παραβολής μπορεί κανείς να κατασκευάσει άπειρα σημεία της με την εξής συνταγή:
- Ξεκίνησε από σημείο A επί της a,
- Φέρε την κάθετο AP της a στο A και την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑF,
- Το σημείο τομής P της καθέτου BP στην a και της μεσοκαθέτου της AF είναι σημείο της καμπύλης.
Οι επόμενες ιδιότητες της παραβολής είναι συνέπειες του ορισμού ή κάθε μία προκύπτει από τις προηγούμενες:
[1] Η εφαπτόμενη (t) της (c) στο Ρ είναι η μεσοκάθετος της AF.
[2] Ο τόπος των κέντρων Ρ των κύκλων που εφάπτονται σε σταθερή ευθεία (a) και διέρχονται από σταθερό σημείο F είναι η παραβολή με διευθετούσα a και εστία F.
[3] Δοθείσης ευθείας (a) και σημείου F, η περιβάλλουσα όλων των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων AF, γιά σημεία A επί της a, είναι η παραβολή με εστία F και διευθετούσα (a).
[4] Η ευθεία CF είναι ορθογώνια στην PF και εφαπτόμενη στο κύκλο με κέντρο Ρ και ακτίνα PF = PA.
[5] Καθώς το σημείο A κινήται επί της ευθείας (a), τα μέσα B των ευθυγράμμων τμημάτων AF κινούνται επ' ευθείας (b) παραλλήλου της (a) σε απόσταση p/2, όπου p (λέγεται παράμετρος της παραβολής) είναι η απόσταση της εστίας από την διευθετούσα (a). Η ευθεία (b) είναι εφαπτόμενη στην κορυφή O της παραβολής. Η κορυφή είναι το εγγύτατο της διευθετούσης σημείο της παραβολής.
[6] Φέρε από το F παράλληλο (d) της PC και από το C παράλληλο (t') της FA. Η t' είναι εφαπτόμενη της παραβολής.
[7] Οι εφαπτόμενες CP, CP' της παραβολής από σημείο C της διευθετούσης σχηματίζουν ορθή γωνία στο C.
[8] Η ευθεία διά των σημείων P, P' διέρχεται από την εστία F.
[9] Το C είναι μέσον της AD. Τα τετράπλευρα APFC και DP'FC είναι όμοια. Ισχύει CF2 = AP*DP'.
[10] Η CF είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου CPP'. Το BB'P'P είναι κυκλικό τετράπλευρο.
[11] Ο κύκλος με διάμετρο PP' εφάπτεται της διευθετούσης (a) στο C.
[12] Ισχύει AR = DP' και APQD είναι ορθογώνιο.
[13] Έστω G η τομή της διευθετούσης (a) με την ευθεία PP'. Έστω I η τομή της CF με την παραβολή c. Τα τρίγωνα GIH και GIF είναι ίσα. Η GI είναι διχοτόμος της γωνίας AGP. Η εφαπτόμενη της c στο I διέρχεται διά του G.
[14] Τα τετράπλευρα APFC είναι δικυκλικά, δηλαδή έχουν περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο κύκλο. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι η τομή των PC και GI.
[15] Έστωσαν J, E, K τα μέσα των πλευρών του τριγώνου CPP'. Το μέσον M της CE είναι επί της παραβολής, αφού είναι επί της KJ, που είναι ορθογώνια στο μέσον της CF (CM=MF).
Οι προηγούμενες ιδιότητες (κυρίως η [13]) υποδεικνύουν και τον ακόλουθο τρόπο κατασκευής της παραβολής:
Θεώρησε σταθερή ευθεία (a) καθώς και σταθερό σημείο F εκτός αυτής. Γιά κάθε σημείο G της (a) έστω GI η διχοτόμος της γωνίας μεταξύ των ευθειών (a) και GF. Η ευθεία αυτή συμπίπτει με την μεσοκάθετο του τμήματος FH. Η περιβάλλουσα αυτών των ευθειών GI (ή των μεσοκαθέτων FH) είναι η παραβολή με διευθετούσα την (a) και εστία το F.
Διαλέγοντας τους άξονες κατάλληλα παίρνουμε εύκολα την γνωστή εξίσωση της παραβολής. Συγκεκριμένα, ως άξονα των x διαλέγουμε την εφαπτομένη (b) στην κορυφή της παραβολής. Ως άξονα των y τον άξονα της παραβολής (αρχή των αξόνων συνεπώς η κορυφή O της παραβολής).
Προφανώς τότε οι συντεταγμένες του P(x,y) ικανοποιούν: AP2 = PF2 <=> (y+p/2)2 = x2 + (y-p/2)2 =>
[Audin] Audin, Michele Geometry Berlin, Springer, 2002
[Baker] Baker, H. F. Plane Geometry New York, Chelsea Publishing Company 1971
[Berger] Berger, M Geometry I, II Paris, Springer Verlag, 1987
[Casey] Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions, with Numerous Examples, 2nd ed. rev. enl. . Dublin, Hodges, Figgis, & Co., 1893
[Weisstein] Wisstein Eric W. CRC Consise Encyclopedia of Mathematics Boca Raton 2002, Chapman & Hall/CRC
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Η παραβολή ![[0_0]](Parabola_files/Parabola_0_0_0.png)
![[0_1]](Parabola_files/Parabola_0_0_1.png)
![[1_0]](Parabola_files/Parabola_0_1_0.png)
![[1_1]](Parabola_files/Parabola_0_1_1.png)
![[2_0]](Parabola_files/Parabola_0_2_0.png)
![[2_1]](Parabola_files/Parabola_0_2_1.png)
![[0_0]](Parabola_files/Parabola_1_0_0.png){kind=small}