Έστω F προβολικός μετασχηματισμός (προβολικότητα). Στην συνέχεια εργάζομαι στο σύνολο D των σημείων X έτσι ώστε τα σημεία {X, F(X), F(F(X))} να είναι μη-συγγραμμικά. Το D μπορεί να είναι κενό (π.χ. όταν η F είναι μεταφορά ή ομοιοθεσία) εδώ ωστόσο υποθέτω ότι το D είναι μη-κενό. Με αυτήν την υπόθεση σε κάθε ευθεία L του επιπέδου αντιστοιχεί μία κωνική ως εξής:
[1] Η εικόνα F(L) = L' είναι επίσης ευθεία. Γιά κάθε σημείο X της L η εικόνα F(X) είναι ένα σημείο της L' και η ευθεία LX που διέρχεται από τα {X, F(X)} είναι εφαπτόμενη της κωνικής cL.
Η κωνική cL έχει τις εξής ιδιότητες:
[2] Έστω S το σημείο επαφής της L με την παραβολή cL. Τότε το S' = F(S) είναι το σημείο τομής των ευθειών {L, L'=F(L)}.
[3] Το σημείο F(F(S)) = S'' είναι το σημείο επαφής της cL με την ευθεία L'.
[4] Γιά κάθε σημείο X της ευθείας L η ευθεία XX', όπου X'=F(X) (X επί της ευθείας L') είναι εφαπτόμενη της cL σε σημείο W που είναι το αρμονικό συζυγές του V ως προς τα {X,X'}, όπου V είναι το σημείο τομής της XX' με την ευθεία SS''.
[5] Το τρίγωνο SS'S'' έχει την κωνική cL εφαπτόμενη στις πλευρές {S'S, S'S''} στα σημεία {S,S''} και είναι μοναδικό με αυτή την ιδιότητα. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει άλλο σημείο R επί της ιδίας κωνικής έτσι ώστε το αντίστοιχο τρίγωνο RR'R'' με R'=F(R), R''=F(F(R)) και πλευρές {R'R, R'R''} εφαπτόμενες της cL στα {R,R''} αντίστοιχα.
Οι τέσσερις πρώτοι ισχυρισμοί αποδεικνύονται όπως και οι αντίστοιχοι γιά την ειδική περίπτωση συσχετισμένων μετασχηματισμών που εξετάζονται στο Παραβολή παραγόμενη από μετασχηματισμό (*). Η μόνη διαφορά έγκυται στο είδος της κωνικής, που τώρα πλέον είναι γενικό και όχι κατ' ανάγκη παραβολή. Αυτό έπεται από τον τρόπο παραγωγής της κωνικής. Μπορεί κανείς εύκολα να υπολογίσει, με την βοήθεια προβολικών συντεταγμένων κατά μήκος των ευθειών SS' και S'S'' ότι οι συντεταγμένες των X και F(X) ικανοποιούν μιά ομοιογραφική σχέση της μορφής x'=(ax+b)/(cx+d). Κατά συνέπεια, εφαρμόζοντας το επιχείρημα της Chasles-Steiner κατασκευής να αποδείξει ότι οι ευθείες XX' περιβάλλουν μιά κωνική (δες Chasles-Steiner μέθοδος ).
Γιά την απόδειξη του πέμπτου ισχυρισμού εφαρμόζω μιά παραλλαγή του επιχειρήματος του (*).
Πράγματι, υπόθεσε ότι υπάρχουν δύο τρίγωνα SS'S'' και RR'R'' που ικανοποιούν τις απαιτήσεις του [5]. Από το θεώρημα του Brianchon οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου που σχηματίζονται από τις εφαπτόμενες {SS', S'S'', RR', R'R''} και οι ευθείες που ενώνουν τα απέναντι σημεία επαφής διέρχονται από κοινό σημείο O. Προκύπτει λοιπόν το παρακάτω σχήμα.
Όρισε τότε την προβολικότητα G απαιτώντας {S'=G(S), S''=G(S'), R'=G(R), R''=G(R')}.
- Το σημείο O είναι σταθερό σημείο της G.
Πράγματι, το σημείο Ο, όντας σημείο τομής των ευθειών {SR,S'R'} απεικονίζεται στο σημείο τομής των {S'R',S''R''} που είναι πάλι το Ο, άρα το Ο είναι σταθερό σημείο της G.
- Η πολική PO του O ως προς την κωνική είναι αναλλοίωτη ευθεία ως προς την G.
Πράγματι, θεώρησε την τομή T της SR με την πολική PO. Ο διπλός λόγος (S,R,O,T)=-1 (αρμονικός) διατηρείται από την G. Επίσης η SR απεικονίζεται μέσω της G στην S'R'. Έπεται ότι το T απεικονίζεται μέσω της G σε σημείο T' επί της PO.
Ανάλογα αποδεικνύεται ότι το T' απεικονίζεται μέσω της G στο σημείο τομής T'' της S''G'' με την PO. Τούτο συμπληρώνει το επιχείρημα ότι η PO είναι αναλλοίωτη ως προς G.
- Υποθέτωντας τώρα ότι η F είναι προβολικότητα απεικονίζουσα κάθε σημείο X της SS' σε σημείο X' της S'S'' έτσι ώστε η XX' να είναι εφαπτόμενη της κωνικής, καθώς επίσης απεικονίζουσα κάθε Y της RR' σε σημείο Y' της R'R'' έτσι ώστε η YY' να είναι εφαπτόμενη της ιδίας κωνικής, καταλλήγουμε σε άτοπο.
Πράγματι, οι προβολικότητες F και G συμπίπτουν στα τέσσαρα σημεία {S,S',R,R'} άρα ταυτίζονται. Παίρνοντας {X,X',Y,Y'} κατά μήκος ευθείας εφαπτομένης της κωνικής στο σημείο Μ βλέπουμε ότι η εφαπτόμενη αυτή είναι αναλλοίωτη ως προς την F άρα η τομή της M' με την PO (που είναι επίσης αναλλοίωτη ως προς F) είναι σταθερό σημείο της PO. Έπεται ότι η ευθεία PO αποτελείται καθ' ολοκληρίαν από σταθερά σημεία. Άρα και η αντίφαση, αφού τότε οι ευθείες OS, OS' και OS'' θα συνέπιπταν, πράγμα που αποκλείστηκε από την αρχή.
Έστω F προβολικότητα. Έστω επίσης D το σύνολο του επιπέδου γιά το οποίο τα σημεία {Χ,Χ',Χ''} με X'=F(X), X''=F(X') είναι μη-συγγραμμικά. Η προηγούμενη ανάλυση δείχνει ότι γιά κάθε σημείο Χ του D υπάρχει κωνική, που συμβολίζω με k(X) (συμπίπτει με την προηγούμενη cL), εφαπτόμενη στα σημεία {Χ,Χ''} των ευθειών {ΧΧ', Χ''Χ'}. Η ανάλυση δείχνει επίσης ότι η αντιστοίχιση αυτή είναι 1-1, δηλαδή σε διαφορετικά σημεία του D αντιστοιχούν διαφορετικές κωνικές.
Από την πέμπτη επίσης ιδιότητα προκύπτει ότι δεν υπάρχει κωνική στο υποσύνολο k(D) όλων των κωνικών που είναι αναλλοίωτη ως προς την προβολικότητα F. Έτσι η F εισάγει μιά μετάθεση F* στο σύνολο k(D) χωρίς σταθερά σημεία.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Κωνική παραγόμενη από ευθεία μέσω προβολικότητας ![[0_0]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_0_0_0.png)
![[0_1]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_0_0_1.png)
![[0_2]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_0_0_2.png)
![[0_0]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_0_0.png)
![[0_1]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_0_1.png)
![[0_2]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_0_2.png)
![[0_3]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_0_3.png)
![[1_0]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_1_0.png)
![[1_1]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_1_1.png)
![[1_2]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_1_2.png)
![[1_3]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_1_3.png)
![[2_0]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_2_0.png)
![[2_1]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_2_1.png)
![[2_2]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_2_2.png)
![[2_3]](ProjectivityGeneratedConic_files/ProjectivityGeneratedConic_1_2_3.png)