[alogo] 1. Παραβολή παραγόμενη από συσχετισμένο μετασχηματισμό

Έστω F συσχετισμένος μετασχηματισμός. Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε σε κάθε ευθεία L του επιπέδου μιά παραβολή με τον εξής τρόπο:
[1] Η εικόνα F(L) = L' είναι επίσης ευθεία. Γιά κάθε σημείο X της L η εικόνα F(X) είναι σημείο της L' και η ευθεία LX που ορίζεται από τα σημεία {X, F(X)} είναι εφαπτόμενη μιάς παραβολής cL.
Η παραβολή cL έχει τις εξής ιδιότητες:
[2] Έστω S το σημείο επαφής της L με την παραβολή cL. Τότε το S' = F(S) είναι το σημείο τομής των ευθειών {L, L'=F(L)}.
[3] Το σημείο F(F(S)) = S'' είναι το σημείο επαφής της cL με την ευθεία L'.
[4] Γιά κάθε σημείο X της ευθείας L η ευθεία XX', όπου X'=F(X) (επί της L') εφάπτεται της παραβολής στο σημείο W που είναι το αρμονικό συζυγές του V ως προς τα {X,X'}, όπου V το σημείο τομής της XX' με την ευθεία SS''. Ειδικά το μέσον T' της SS' απεικονίζεται στο F(T') = T'' μέσον της SS'' και η ευθεία Τ'Τ'' εφάπτεται της παραβολής στο μέσον της T.
[5] Το τρίγωνο SS'S'' έχει την παραβολή cL εφαπτόμενη στις πλευρές του {S'S, S'S''} στα σημεία αντίστοιχα {S,S''} και είναι μοναδικό με αυτή την ιδιότητα. Δηλαδή δεν υπάρχει άλλο σημείο R της ίδιας παραβολής έτσι ώστε το τρίγωνο RR'R'' με R'=F(R), R''=F(F(R)) να έχει τις {R'R, R'R''} εφαπτόμενες της παραβολής στα {R,R''} αντίστοιχα.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]

Γιά την απόδειξη του [1] ας πάρουμε κατάλληλα σημεία στην L ξεκινώντας από το σημείο τομής S' των L και L'. Λόγω του αμφιμονοσήμαντου της F, θα υπάρχει σημείο S στην L με F(S) = S'. Έστω και S''=F(S')=F(F(S)).
Παίρνοντας την αρχή των αξόνων στο S' και άξονες αντίστοιχα τις ευθείες {L,L'} ορίζουμε x = S'X και y = S'X'. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των συσχετισμένων να διατηρούν τον λόγο τμημάτων επί ευθειών, βλέπουμε εύκολα ότι ισχύει μιά σχέση της μορφής y = ax+b, με {a,b} σταθερές. Το [1] λοιπόν προκύπτει εφαρμόζοντας την ιδιότητα της παραβολής που εξετάζεται στο Παραβολή του Θαλή .
Τα [2] και [3] προκύπτουν εύκολα από τον ορισμό της περιβάλλουσας, σύμφωνα με τον οποίο, τα σημεία της ορίζονται ως οριακές θέσεις σημείων τομής δύο γειτονικών ευθειών, όπως λ.χ. η SS' και ΧΧ' όταν η XX' τείνει να συμπέσει με την SS'. Προφανώς το οριακό αυτό σημείο είναι το S. Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι το S'' είναι σημείο της παραβολής.
Το [4] προκύπτει από την δυϊκότητα πόλου-πολικής. Προφανώς η SS'' είναι πολική του σημείου S' ως προς την παραβολή και διέρχεται από το V, άρα και η πολική του V ως προς την παραβολή θα διέρχεται από το S'. Ο ισχυρισμός προκύπτει προβάλλοντας τον διπλό λόγο (X,X',V,W) επί της XX' από το S' επί της SS''.
Γιά την απόδειξη του [5] πιθανόν να υπάρχει συλλογισμός απλούστερος από τον επόμενο. Εδώ εφαρμόζω το θεώρημα του Brianchon (δες Θεώρημα του Brianchon ). Για λόγους απλοποίησης του σχήματος εργάζομαι κατ' αρχή με την βοήθεια μιάς έλλειψης.
Υπόθεσε λοιπόν ότι υπάρχουν δύο τρίγωνα SS'S'' και RR'R'' όπως αναφέρονται στο [5]. Κατά το προαναφερθέν θεώρημα οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου που σχηματίζεται από τις εφαπτόμενες {SS', S'S'', RR', R'R''} και οι ευθείες που ενώνουν τα σημεία επαφής θα διέρχονται από το ίδιο σημείο O.

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]

Το σημείο Ο, ως σημείο τομής των {SR,S'R'} θα μετασχηματίζεται στο σημείο τομής των {S'R',S''R''} που είναι πάλι το Ο, άρα θα είναι σταθερό σημείο της F. Tότε οι λόγοι SO/OR = S'O/OR' = S''O/OR'' δείχνουν ότι οι ευθείες {SS'', RR''} είναι παράλληλες. Το SS''RR'' λοιπόν είναι είναι τραπέζιο και στην περίπτωση που η κωνική cL είναι παραβολή η S'R' ενώνει τα μέσα των παράλληλων πλευρών και είναι παράλληλος προς τον άξονα της παραβολής.
Η συνέχεια της απόδειξης βασίζεται πλέον σε ιδιότητες της παραβολής που είναι περιγεγραμμένη του τραπεζίου SS''RR'' (δες Παραβολή περιγράφουσα τραπέζιο ). Μπορούμε να ορίσουμε μιά προβολικότητα F' με τις ιδιότητες {F'(S) = S', F'(S') = S'', F'(R) = R', F'(R') = R''}. Η F' συμπίπτει με την F (θεωρούμενη ως ειδική προβολικότητα) στα τέσσαρα σημεία {S,S',R,R'} άρα, κατά τις γενικές ιδιότητες προβολικοτήτων, οι F και F' ταυτίζονται. Όμως αποδεικνύεται (στην προαναφερθήσα αναφορά) ότι η F' δεν μπορεί ποτέ να είναι συσχετισμένος μετασχηματισμός.

[alogo] 2. Αντιστοίχιση παραβολής σε σημείο

Έστω F συσχετισμένος μετασχηματισμός. Έστω επίσης D το σύνολο των σημείων του επιπέδου γιά τα οποία τα {Χ,Χ',Χ''} με X'=F(X), X''=F(X') δεν είναι συγγραμμικά. Η προηγούμενη ανάλυση δείχνει ότι σε κάθε σημείο Χ του D αντιστοιχεί μία παραβολή που εφάπτεται στα {Χ,Χ''} των ευθειών {ΧΧ', Χ''Χ'}. Η ανάλυση δείχνει επίσης ότι η αντιστοίχιση είναι 1-1, δηλαδή σε δύο τέτοια διαφορετικά σημεία αντιστοιχούν δύο διαφορετικές παραβολές.
Παρατήρηση-1: Υπάρχουν συσχετισμένοι μετασχηματισμοί (όπως οι ανακλάσεις, μεταφορές, ομοιοθεσίες) γιά τους οποίους το σύνολο D είναι κενό.
Παρατήρηση-2: Τα προηγούμενα επιχειρήματα ισχύουν προφανώς γιά σημεία του συνόλου D και μόνον.
Παρατήρηση-3: Η κωνική cL είναι ειδική περίπτωση κωνικής παραγόμενης με την μέθοδο των Chasles-Steiner (δες Chasles-Steiner μέθοδος ).
Παρατήρηση-4: Γιά μιά γενίκευση των συμπερασμάτων σε προβολικότητες δες το Κωνική παραγόμενη από μετασχηματισμό .

Δείτε ακόμη

Παραβολή
Παραβολή του Θαλή
Κωνική παραγόμενη από μετασχηματισμό
Chasles-Steiner μέθοδος
Παραβολή περιγράφουσα τραπέζιο
Θεώρημα του Brianchon

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Produced with EucliDraw©