Ptolemy

1. Θεώρημα του Πτολεμαίου (επέκταση σε ανισότητα)

Σε τετράπλευρο ABCD, ισχύει η ανισότητα |BC||AD|+|CD||AB| >= |BD||AC|. Η ισότητα ισχύει τότε ακριβώς όταν το τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο d.

Η απόδειξη στηρίζεται σε αντιστροφή, οριζόμενη ως προς κύκλο c, κέντρου B, και αυθαίρετης ακτίνας r. Μιά τέτοια αντιστροφή απεικονίζει τον κύκλο τον διερχόμενο διά των B, C και A σε μιά ευθεία e. Εν γένει τα τμήματα |CD| και |C'D'|, όπου C', D' είναι αντίστροφα των C, D κατ' αντιστροφήν κέντρου B και ακτίνος r, δίδονται από τον τύπο:

Ξεκίνα από την ανισότητα |A'C'| <= |A'D'| + |D'C'| (τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο A'C'D') και εφάρμοσε την προηγούμενη για να εκφράσεις τα μήκη μέσω των αρχικών μηκών των στοιχείων του τετραπλεύρου.

2. Εφαρμογή σε ισόπλευρα τρίγωνα

Οι αποστάσεις σημείου Ρ από τις πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου ικανοποιούν την ανισότητα:

Πράγματι κατά Πτολεμαίο μετρώντας στο τετράπλευρο APBC: PA*BC + PB*AC >= PC*AB. Η οποία λόγω των ίσων πλευρών απλοποιείται στην to PA + PB >= PC. Γιά την εξέταση της ισότητας θεώρησε το P επί του τόξου AB όπως στο επόμενο σχήμα.

Όρισε P' έτσι ώστε το PAP' να είναι ισόπλευρο. Τότε τα τρίγωνα APB και AP'C είναι ίσα και συνεπώς PA+PB=PP'+P'C=PC.

Δείτε ακόμη

Inversion.html
InverseLengths.html

Βιβλιογραφία

Pedoe, D. A course of Geometry. New York, Dover, 1990, p. 111.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/