Pythagoras

1. Θεώρημα του Πυθαγόρα

Κατασκεύασε τετράγωνα στις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ABC. Το τετράγωνο στην υποτείνουσα BC έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων στις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου.

Μιά κλασική απόδειξη προκύπτει χωρίζοντας το μεγάλο τετράγωνο σε δύο παραλληλόγραμμα JKDC και JKEB μέσω του ύψους από την ορθή γωνία A. Δείχνοντας κατόπιν ότι κάθε ένα από αυτά έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνο με το οποίο έχει μιά κοινή κορυφή.
Πράγματι, το παραλληλόγραμμο CDKJ έχει εμβαδόν διπλάσιο του τριγώνου ACD. Όμως το τρίγωνο αυτό ισούται με το GCB που έχει εμβαδόν το μισό του GCAF. Έτσι τα εμβαδά των CDKJ και CGFA είναι ίσα. Ανάλογα και τα εμβαδά JKEB και ABHI είναι ίσα.

2. Γενίκευση

Θεώρησε πολύγωνο p = MNO... και ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Πάρε μιά πλευρά του πολυγώνου, την MN λ.χ., και κόλλησε μ' αυτήν το πολύγωνο καθ' ομοιότητα στις πλευρές του τριγώνου. Προκύπτουν όμοια πολύγωνα p_A (απέναντι στην A), p_B, p_C. Το εμβαδόν του πολυγώνου απέναντι στην ορθή γωνία είναι το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων πολυγώνων.

Η απόδειξη προκύπτει από το θεώρημα του Πυθαγόρα άμεσα. Πράγματι έστω ότι τα μήκη των πλευρών είναι a=BC, b=CA, c=AB. Υπόθεσε ότι το πολύγωνο έχει εμβαδόν (e) και η πλευρά του MN έχει μήκος m. Τότε από την ομοιότητα:
εμβαδόν(p_A)/e = a²/m², εμβαδόν(p_B)/e = b²/m₂, εμβαδόν(p_C)/e = c²/m₂.
Η απόδειξη προκύπτει αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση την a² = b² + c².

3. Παρατηρήσεις

Η προηγούμενη ιδιότητα γενικεύεται γιά σχήματα p που έχουν εμβαδόν e και το σύνορό τους περιέχει κάποιο ευθύγραμμο τμήμα MN. Μπορεί τότε να κολλήσει κανείς καθ' ομοιότητα το p στις πλευρές του ορθογωνίου μέσω της ΜΝ και να κατασκευάσει τρία όμοια σχήματα p_A, p_B, p_C. Τα εμβαδά αυτών ικανοποιούν πάλι την εμβαδόν(p_A) = εμβαδόν(p_B) + εμβαδόν(p_C).

Παίρνοντας γιά p ένα ημικύκλιο και κολλώντας το στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου παίρνουμε το επόμενο σχήμα και το γνωστό θεώρημα που συνδέει τα εμβαδά των γαλάζιων μηνίσκων: το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Πάππου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/