QuadDivision

Διαίρεση τετραπλεύρου

Εδώ εξετάζεται η απάντηση στο πρόβλημα, που προτάθηκε απο τον Μιχάλη Μεταξά: Δοθέντος κυρτού τετραπλεύρου, διαίρεσέ το με δύο τεμνόμενες ευθείες σε τέσσαρα ισοεμβαδικά μέρη. Ακολουθώντας μιά ιδέα του Μιχάλη Παπαδημητράκη, βρες πρώτα την περιβάλλουσα των ευθειών [EF] που διαιρούν το τετράπλευρο σε δύο ισοεμβαδικά μέρη. Όπως παρατήρησε ο Αντρέας Βαρβεράκης, αυτή η περιβάλλουσα είναι υπερβολή, με ασυμπτώτους τις ευθείες [AB] και [CD] (κόκκινες), ή [AD] και [BC] (μη σχεδιασμένες). Φέρε κατόπιν μιά ευθεία [EF] εφαπτόμενη αυτής της υπερβολής σε σημείο της H. Τούτη δημιουργεί (υπό ορισμένες συνθήκες) δύο άλλα τετράπλευρα: AEID και BEIC, που έχουν ίσα εμβαδά. Επανάλαβε την διαδικασία κατασκευής της περιβάλλουσας για τα δύο αυτά τετράπλευρα. Τούτο ορίζει δύο άλλες υπερβολές (πράσινη και μπλε αντίστοιχα). Φέρε την κοινή εφαπτόμενη [FG] αυτών των υπερβολών. Αυτό συμπληρώνει την κατασκευή των δύο ευθειών, τεμνομένων στο σημείο F. Προφανώς υπάρχουν άπειρες λύσεις εν γένει.

Το γεγονός ότι η περιβάλλουσα των ευθειών που διαιρούν ένα τετράπλευρο σε δύο ισοεμβαδικά μέρη είναι μιά υπερβολή, οφείλεται στο ότι τα ασυμπτωτικά τρίγωνα υπερβολών έχουν σταθερό εμβαδόν. Δες το έγγραφο AsymptoticTriangle.html γιά τα σχετικά.

Δες το έγγραφο ParaDivision.html γιά μιά λύση του ειδικού προβλήματος, διαίρεσης σε τέσσερα μέρη ενός παραλληλογράμμου. Σε αυτήν την περίπτωση το F είναι πάντοτε το κέντρο του παραλληλογράμμου. Ποιός όμως είναι ο τόπος του F στην γενική περίπτωση;

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/