AsymptoticTriangle

1. Ασυμπτωτικά τρίγωνα

[0] Ασυμπτωτικό τρίγωνο μιάς υπερβολής είναι ένα τρίγωνο ABC του οποίου δύο πλευρές συμπίπτουν με τις ασύμπτωτες και η τρίτη με εφαπτόμενη της υπερβολής.

[1] Όλα τα ασυμπτωτικά τρίγωνα μιάς υπερβολής έχουν το ίδιο εμβαδόν E, ίσο με το γινόμενο a*b των αξόνων της υπερβολής.

[2] Το σχήμα δείχνει έναν κύκλο διερχόμενο από τις εστίες και τα σημεία A, C , όπου η εφαπτόμενη τέμνει τις ασύμπτωτες.
[3] Τα τρία τρίγωνα AEC, BCF, FBA είναι όμοια, ώς έχοντα τις γωνίες στα B και E ίσες με την σταθερή γωνία FBA (εξαρτώμενη της υπερβολής).
[4] Tο σημείο επαφής D της εφαπτομένης AC είναι το μέσον της.
[5] H συζυγής υπερβολή έχει ασυμπτωτικό τρίγωνο του ιδίου εμβαδού.

2. Προσδιορισμός των εστιών

Γνωρίζοντας ένα ασυμπτωτικό τρίγωνο ABC της υπερβολής καθώς και ότι το κέντρο της είναι στην κορυφή B μπορούμε να προσδιορίσουμε τις εστίες της και από αυτές ολόκληρη την υπερβολή.
Πράγματι, φέρε τις διχοτόμους στο Β και πάρε τα κατοπτρικά {A',C'} των {A,C} ως προς την εξωτερική διχοτόμο. Το τραπέζιο ACC'A' έχει περίκυκλο c που περνά από τα εστιακά σημεία {E,F} της υπερβολής. Οι εστίες είναι οι τομές του c με την εσωτερική διχοτομο της γωνίας Β του τριγώνου.
Η ιδιότητα μπορεί να αναγνωσθεί και ανάποδα, σαν μιά σχέση μεταξύ υπερβολών και ισοσκελών τραπεζίων:
Δοθέντος ιοσκελούς τραπεζίου ACC'A' υπάρχει μοναδική παραβολή που έχει τις διαγώνιες ως ασύμπτωτες και το τρίγωνο ABC ως ασυμπτωτικό. Οι εστίες της ελλείψεως είναι οι τομές του περικύκλου του τραπεζίου με την διχοτόμο στο Β κτλ. (δες επίσης το Ασυμπτωτικό τρίγωνο ΙΙ ).

Δείτε το αρχείο Διαίρεση τετραπλεύρου γιά μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή στο πρόβλημα της διαίρεσης ενός τετραπλεύρου σε τέσσαρα ισοεμβαδικά μέρη.

Δείτε ακόμη

Ασυμπτωτικό τρίγωνο ΙΙ
Διαίρεση τετραπλεύρου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/