RotatingTriangleSimilar

Περιστρεφόμενα όμοια τρίγωνα

Έστω A'B'C' όμοιο του τριγώνου ABC και περιστρεφόμενο σε κύκλο (d), συγκεντρικό του περιγεγραμμένου κύκλου του A'B'C'.
Έστω A''B''C'' το τρίγωνο των τομών των ευθειών {ΑΑ', ΒΒ' , CC'}.
[1] Tα τρίγωνα A"B"C" είναι όμοια του εφαπτομενικού τριγώνου A*B*C* του ABC.
[2] Οι κορυφές {A'', B'', C''} κινούνται επί των κύκλων με διαμέτρους {OA*, OB*, OC*}, ανεξάρτητων του μεγέθους του (d) .
[3] Το κέντρο ομοιότητας των τριγώνων {A''B''C'', A*B*C*} είναι το περίκεντρο Ο του ABC.
[4] Ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων του Α''B''C'' είναι ο κύκλος, με διάμετρο OO*, όπου Ο* το περίκεντρο του A*B*C*.

[1] Τα τρίγωνα {ΟΑΑ', ΟΒΒ', OCC'} είναι ίσα. Προκύπτει ότι οι γωνίες {C*AC'', A*BA'', B*CB''} είναι ίσες, άρα τα {AC''C*B, BA''A*C, CB''B*A} είναι τετράπλευρα κυκλικά. Τούτο συνεπάγεται τις δύο πρώτες ιδιότητες.
[2] Ο κύκλος ο περιγεγραμμένος του AC''C*B διέρχεται και από το O, λόγω της γωνίας σε αυτό που είναι παραπληρωματική της C*. Συνάγεται ότι το OC''C* είναι ορθογώνιο στο C'', καθώς και ότι οι αποστάσεις του Ο από τις πλευρές του A''B''C'' είναι ίσες. Άρα ο εγγεγραμμένος κύκλος του A''B''C'' είναι συγκεντρικός του εγγεγραμμένου του A*B*C* που είναι ο περιγεγραμμένος του ABC.
[3] Προκύπτει ότι τα τρίγωνα {OA''A*, OB"B*, OC''C*} είναι όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Άρα η ομοιότητα που απεικονίζει το A*B*C* στο A''B''C'' έχει κέντρο το O, γωνία στροφής την φ = (C*OC'') και λόγο ομοιότητας cos(φ). Από αυτό προκύπτει και το [4], αφού θα πρέπει το τρίγωνο OO*O'', όπου O'' το περίκεντρο του A''B''C'', να είναι και αυτό όμοιο του C*OC'' και επομένως το O'' θα βλέπει το σταθερό OO* υπό ορθή γωνία.

Παρατήρηση-1 Το τρίγωνο A''B''C'' είναι συνεχώς όμοιο του A*B*C* και οι πλευρές του διέρχονται από τρία σταθερά σημεία που είναι οι κορυφές του ABC. Γιά τέτοια τρίγωνα υπάρχει γενικό θεώρημα που εξασφαλίζει ότι κάθε σημείο του τριγώνου A''B''C'' σταθερά συνδεδεμένο με το τρίγωνο, όπως λ.χ. οι κορυφές του, το περίκεντρο, το ορθόκεντρο και γενικώτερα κάθε σημείο με σταθερές τριγραμμικές συντεταγμένες ως προς το κινούμενο τρίγωνο, θα περιγράφει κύκλο με σταθερό κέντρο και σταθερή ακτίνα (δες αναφορά στον Yaglom).

Παρατήρηση-2 Η οικογένεια των τριγώνων Α''B''C'' που προκύπτει δεν εξαρτάται από το μέγεθος του κύκλου (d). Τα τρίγωνα αυτά είναι απλά τα περιγεγραμμένα του ABC με γωνίες ίσες με τις γωνίες του εφαπτομενικού του και την διάταξη κατά την οποία απέναντι της Α κινήται η Α* με μέτρο (π-2Α) και την ανάλογη σχέση γιά τις άλλες γωνίες. Οποιοσδήποτε κύκλος συγκεντρικός του (d) θα παράγει την ίδια οικογένεια. Ο ρόλος του είναι βοηθητικός.

Το θέμα των περιγεγραμμένων τριγώνων περί δοθέν τρίγωνο και ομοίων προς δεύτερο τρίγωνο εξετάζεται και στο Miquel Δυϊκό .

Δείτε ακόμη

Miquel Δυϊκό
Οδηγός περιστροφής

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Vol. II Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962, p. 72

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/