Pivot

1. Περιστρέφοντας το ποδικό

Έστω A'B'C' το ποδικό τρίγωνο του P ως προς το ABC. Οι κορυφές του είναι οι πόδες των καθέτων από το P στις πλευρές του τριγώνου ABC. Φέρνοντας τις ευθείες {PA'', PB'', PC''} από το P ίσον κεκλιμένες προς τις καθέτους και παίρνοντας τις τομές τους με τις πλευρές κατασκευάζουμε τρίγωνο A''B''C'' όμοιο του ποδικού A'B'C'.

Πράγματι τα ορθογώνια τρίγωνα {PA'A'', PB'B'', PC'C''} είναι όμοια. Αυτό συνεπάγεται την ομοιότητα των τριγώνων {PA'B', PA''B''} καθώς επίσης και των {PB'C', PB''C''}. Από αυτήν την ομοιότητα έπεται και η ομοιότητα των A'B'C' και A''B''C''.

Πόρισμα-1 Γιά όλα τα τρίγωνα A''B''C'', που προκύπτουν από το A'B'C' με την προηγούμενη διαδικασία οι γωνίες {A''PB'', B''PC'', C''PA''} παραμένουν σταθερές και κάθε μία είναι ίση με κάποια γωνία του ABC (γιά να συμπεριλάβουμε και σημεία P εκτός του τριγώνου) ή με την παραπληρωματική της.
Πόρισμα-2 Η θέση του P ως προς το A'B'C' καθορίζεται μονοσήμαντα από τις γωνίες {A''PB'', B''PC'', C''PA''}, οι οποίες ορίζουν επίσης και τους λόγους PA':PB':PC', άρα τις τριγραμμικές συντεταγμένες του P ως προς το ABC.

2. Οι δώδεκα δυνατές θέσεις του P

Σταθεροποιώντας το τρίγωνο ABC και τις γωνίες του A'B'C' προκύπτει ερώτημα γιά το πόσα P υπάρχουν έτσι ώστε το αντίστοιχο ποδικό τους να είναι όμοιο του A'B'C'. Οι δυνατότητες εξαρτώνται από δύο παράγοντες (α) ποιά κορυφή του A'B'C' είναι σε ποιά πλευρά του ΑBC, (β) προσανατολισμός του A'B'C' ως προς αυτόν του ABC.

H πρώτη δυνατότητα δίδει έξι περιπτώσεις και η δεύτερη τις διπλασιάζει σε 12. Έτσι υπάρχουν δώδεκα το πολύ περιπτώσεις διαφορετικών θέσεων γιά το Ρ ως προς το ABC. Συνεπώς (κατά το Πόρισμα-2) θα υπάρχουν και 12 δυνατές θέσεις γιά το P ως προς το A'B'C'. Στο προηγούμενο σχήμα έχουμε μιά περίπτωση όπου ο προσανατολισμός του Α'B'C' είναι αντίστροφος αυτού του ABC (δες Ποδικό και αντιστροφή ).
Το επόμενο σχήμα δείχνει τις σχετικές θέσεις των οδηγών ως προς το τρίγωνο Α'Β'C' (το εγγραφόμενο) σε μιά περίπτωση δύο τριγώνων γιά τα οποία οι δώδεκα θέσεις είναι όντως διαφορετικές. Οι σχετικές θέσεις ως προς το τρίγωνο ΑBC παρουσιάζουν μιά διαφορετική και πλουσιώτερη σε δομή εικόνα που μελετάται στο Οδηγοί εγγραφής 12 .

3. Μεταβάλλοντας το περιγεγραμμένο τρίγωνο

Αντί να περιστρέφουμε το τρίγωνο A'B'C' έτσι ώστε οι κορυφές του να γλιστρούν στις πλευρές του ABC μπορούμε να θεωρήσουμε ότι περιστρέφουμε το ABC κρατώντας το A'B'C' σταθερό ενώ το ABC παραμένει όμοιο προς σταθερό τρίγωνο και οι πλευρές του διέρχονται από τις κορυφές του A'B'C'.

Πράγματι, δοθείσης της θέσης του P ως προς το A'B'C', φέρε τους περικύκλους των τριγώνων {PA'B', PB'C', PC'A'}. Πάρε κατόπιν κάποιο σημείο A στον πρώτο κύκλο και ένωσέ το με κορυφή του A'B'C' περιεχόμενη στον ίδιο κύκλο. Επέκτεινε την προκύπτουσα ευθεία ώστε να τμήσει τον γειτονικό κύκλο στο B και επανάλαβε την διαδικασία από το B γιά να βρεις το C. Μιά εύκολη σύγκριση γωνιών δείχνει ότι τα {A, C, B'} είναι συγγραμμικά και το προκύπτον τρίγωνο έχει τις σωστές σχέσεις με τις γωνίες {PA'B', PB'C', PC'A'}.
Παρατήρηση-1 Ως προς αυτήν την διαδικασία το ABC, γιά το οποίο το A'B'C' γίνεται το ποδικό του P, ταυτίζεται με το τρίγωνο μεγίστης περιμέτρου ABC του οποίου οι πλευρές είναι παράλληλες των διακέντρων των τριών κύκλων.
Παρατήρηση-2 Το P λέγεται οδηγός εγγραφής του A'B'C' στο ABC ή οδηγός περιγραφής του ABC στο A'B'C'. Ταυτίζεται επίσης το Ρ με το σημείο Miquel των τριών σημείων {A', B', C'} επί των πλευρών του ABC.

4. Κατασκευή μιάς περίπτωσης

Υπάρχει στοιχειώδης τρόπος κατασκευής του εγγεγραμμένου A'B'C' και του αντιστοίχου του οδηγού εγγραφής P γιά κάθε μία από τις δώδεκα περιπτώσεις που αναφέρονται στην παράγραφο 2. Στα επόμενα κάνω την κατασκευή της περίπτωσης όπου οι κορυφές {A', B', C'} είναι αντίστοιχα στις πλευρές {BC, BA, AC} και οι προσανατολισμοί είναι οι ίδιοι.

Η κατασκευή ενός τριγώνου με αυτές τις προδιαγραφές (όμοιο του A'B'C' και εγγεγραμμένο κατ' αυτόν τον τρόπο στο ABC) και του αντίστοιχου οδηγού εγγραφής μπορεί να γίνει ως εξής.
Πάρε αυθαίρετο σημείο A₀ στην BC καθώς και αυθαίρετο σημείο C₁ στην CA. Κατασκεύασε το τρίγωνο A₀B₁C₁ όμοιο του A'B'C' και προσανατολισμένο σύμφωνα με την προδιαγραφή. Σταθεροποίησε το A₀ και επανάλαβε την διαδικασία με δεύτερο αυθαίρετο σημείο C₂ επί της CA που οδηγεί σε δεύτερο τρίγωνο A₀B₂C₂ όμοιο του A'B'C'. Από γνωστό θεώρημα που αφορά όμοια τρίγωνα περιστρεφόμενα περί κορυφή τους Α₀ ενώ η άλλη κορυφή τους (C_i) γλιστρά σε ευθεία (δες Όμοια ολισθένοντα σχήματα ), η άλλη κορυφή θα γλυστρά επίσης σε ευθεία. Έτσι η ευθεία B₁B₂ είναι εκείνη επί της οποίας γλιστρά το B_i γιά όλα αυτά τα τρίγωνα A₀B_iC_i όμοια του A'B'C και έχοντα την κορυφή C_i να γλιστρά επί της CA.

Έστω C₀ το ειδικό σημείο της AC γιά το οποίο το τρίγωνο A₀B₀C₀ είναι όμοιο του A'B'C' και το B₀ είναι η τομή της B₁B₂ με την AB. Το τρίγωνο A₀B₀C₀ ικανοποιεί τις προδιαγραφές. Ο οδηγός του P μπορεί να βρεθεί ως τομή δύο από τους κύκλους {AB₀C0, BB₀A₀, CC₀A₀} αφού και οι τρείς διέρχονται από αυτό.

5. Σχετικές θέσεις οδηγών ως προς το ABC

Το σύνολο των οδηγών εγγραφής του A'B'C' στο ABC περιέχει όπως είδαμε το πολύ δώδεκα στοιχεία και έχει ενδιαφέρον να δούμε τις σχετικές θέσεις αυτών των σημείων και ως προς το τρίγωνο ΑBC. Αυτό το θέμα εξετάζεται στο αρχείο Οδηγοί εγγραφής 12 .

Δείτε ακόμη

Ομοιότητα
Όμοια ολισθένοντα σχήματα
Όμοια περιστρεφόμενα σχήματα
Ποδικό τρίγωνο
Ποδικό και αντιστροφή Οδηγοί εγγραφής 12

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/