[alogo] 1. Μετασχηματισμός περιστροφής κέντρου Α και γωνίας ω

Ο μετασχηματισμός στροφής ορίζεται από σημείο Α, που λέγεται κέντρο της στροφής και γωνία (προσανατολισμένη) ω, που λέγεται γωνία στροφής.
Προσανατολισμός γωνίας είναι η φορά της που μπορεί να είναι όπως των δεικτών του ρολογιού (αρνητική) ή αντίθετη προς την φορά των δεικτών του ρολογιού (θετική).

[0_0] [0_1] [0_2]

[alogo] 2. Στροφή ως σύνθεση ανακλάσεων

Βασική ιδιότητα της στροφής είναι ότι παριστάνεται σαν σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς δύο ευθείες {e1, e2} οι οποίες:
α) Διέρχονται από το κέντρο στροφής,
β) Σχηματίζουν γωνία ω/2.


[0_0] [0_1]

H προφανής αυτή ιδιότητα είναι πολύ βολική όταν έχουμε να υπολογίσουμε γινόμενα στροφών. Μιά ευκολία που χρησιμοποιούμε συχνά είναι ότι τα δύο κάτοπτρα (δηλαδή οι δύο ευθείες) μπορούν να είναι σε οποιαδήποτε θέση, γύρω από το Α (δηλαδή να τέμνονται στο Α) και να σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία ω/2.

[alogo] 3. Η σύνθεση στροφών

Η σύνθεση δύο στροφών Α(ω) και Β(ω') είναι στροφή Γ(ω+ω') ή μεταφορά.
Εδώ σημειώνω την στροφή με Α(ω), δηλαδή κέντρου Α και γωνίας στροφής ω.

[0_0]

Η απόδειξη προκύπτει τετριμμένα από την προηγούμενη παρατήρηση. Τις δύο δεδομένες στροφές Α(ω) και Β(ω') μπορώ να παραστήσω ως συνθέσεις ανακλάσεων ως προς ευθείες που συντρέχουν στο Α και Β αντίστοιχα. Μάλιστα μπορώ να πάρω το δεύτερο κάτοπτρο e2 της πρώτης στροφής να ταυτίζεται με το πρώτο e'1 της δεύτερης. Έτσι η σύνθεση των δύο στροφών ισούται με την σύνθεση τεσσάρων ανακλάσεων
B(ω')Α(ω) = Ε'2(Ε'1Ε2)Ε1 = Ε'2Ε1.
Εδώ τα {Εi} συμβολίζουν ανακλάσεις και η σύνθεση στην παρένθεση δίδει την ταυτοτική αφού είναι δύο φορές η ίδια ανάκλαση. Τελικά λοιπόν προκύπτει μιά σύνθεση δύο ανακλάσεων Ε'2Ε1 ως προς δύο ευθείες που τέμνονται σε σημείο C, που είναι η άλλη κορυφή του τριγώνου με πλευρά την ΑΒ και προσκείμενες γωνίες τις {ω/2, ω'/2}.

Παρατήρηση-1 Υπάρχει μία ακριβώς περίπτωση που ο προηγούμενος συλλογισμός δεν ισχύει. Αυτή είναι η περίπτωση που (ω+ω')/2 = π, δηλαδή οι ευθείες e1 και e'2 είναι παράλληλες. Σε αυτήν την περίπτωση η σύνθεση των δύο ανακλάσεων Ε'2Ε1 είναι μιά μεταφορά κατά το διπλάσιο της απόστασης των κατόπτρων (δες παρακάτω).
Παρατήρηση-2 Αυτή είναι η μοιραία περίπτωση που δεν αφήνει το σύνολο των στροφών του επιπέδου να γίνει ομάδα. Πρέπει κανείς να επισυνάψει τις μεταφορές και τότε το σύνολο των στροφών+μεταφορών είναι ομάδα ως προς την σύνθεση μετασχηματισμών.
Παρατήρηση-3 Αν περιοριστεί κανείς στις στροφές γύρω από ένα σταθερό σημείο Α, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτών των μετασχηματισμών αποτελεί ομάδα.

[alogo] 4. Η μεταφορά ως σύνθεση ανακλάσεων

Η σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς δύο παράλληλες ευθείες σε απόσταση d είναι μιά μεταφορά κατά διάνυσμα μήκους 2d και κατεύθυνση κάθετο προς τις ευθείες.
Και αντίστροφα κάθε μεταφορά παριστάνεται σαν σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς ευθείες κάθετες στην κατεύθυνση της μεταφοράς και σε απόσταση μεταξύ τους ίση με το ήμισυ του μήκους της μεταφοράς.

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]

Δείτε ακόμη

Στροφών σύνθεση (σε τρίγωνο)
Στροφών σύνθεση (περιττών)

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Ι Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©