SuccessiveArcs

Διαδοχικά τόξα σε τρίγωνο

Θεώρησε τρίγωνο t = (ABC). Ξεκίνησε από αυθαίρετο σημείο D στην πλευρά AC και σχεδίαζε τόξα, με κέντρο στις κορυφές και πέρατα στις προσκείμενες πλευρές, έτσι ώστε το πέρας του ενός να ταυτίζεται με την αρχή του επομένου. Η κατασκευή παράγει ένα πολύγωνο-τόξων-1 p1 = (DEGIKM), που κλείνει πίσω στο σημείο G.
Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζει κανείς το πολύγωνο-τόξων-2 p2 = PNO των σημείων επαφής με τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου t. Τα δύο πολύγωνα τόξων είναι πράγματι κλειστά, οι κορυφές τους στιην ίδια πλευρά όρίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα: {DP = EN = OG = PI = ... }, και οι κορυφές του πρώτου πολυγώνου-τόξων-1 p1 περιέχονται σε κύκλο, συγκεντρικό του εγγεγραμμένου κύκλου του t. Το τρίγωνο t2 = QRS, το σχηματιζόμενο από τις διαγωνίους του πολυγώνου p1 είναι αντι-ομοθετικό του τριγώνου t3 = NOP, που σχηματίζεται από τα σημεία επαφής του τριγώνου t με τον εγγεγραμμένο κύκλο του. Το κέντρο ομοθεσίας είναι το σημείο του Gergonne U του t. Γιά ένα παρόμοιο θεώρημα, περί περιγραψίμων εξαγώνων και υποδείξεις γιά τις αποδείξεις, δες το έγγραφο: SuccessiveArcsHex.html .

Η πρόταση μπορεί να γενικευθεί γιά περιγράψιμα πολύγωνα με αυθαίρετο, περιττό πλήθος πλευρών, n = 2m+1. Η αντίστοιχη διαδικασία διαδοχικών τόξων, παράγει ένα πολύγωνο 2n τόξων, εγγεγραμμένο σε κύκλο, του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι συγκεντρικός με τον εγγεγραμμένο κύκλο του αρχικού πολυγώνου. Παράδειγμα τέτοιας κατασκευής περιέχεται στο έγγραφο: SuccessiveArcsPenta.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/