SuccessiveArcsHex

Εξαγωνο τόξων εγγεγραμμένων

Θεώρησε το περιγεγραμμένο εξάγωνο p = ABCDEF. Ξεκίνησε από αυθαίρετο σημείο G στην πλευρά EF και σχεδίαζε τόξα, με κέντρο στις κορυφές και πέρατα στις προσκείμενες πλευρές, έτσι ώστε το πέρας του ενός να ταυτίζεται με την αρχή του επομένου. Η κατασκευή παράγει ένα πολύγωνο-τόξων-1 p1 = (GJKNOR), που κλείνει πίσω στο σημείο G.
Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζει κανείς το πολύγωνο-τόξων-2 p2 = HILMPQ, των σημείων επαφής με τον εγγεγραμμένο κύκλο του πολυγώνου p. Τα δύο πολύγωνα τόξων είναι πράγματι κλειστά, οι κορυφές τους στιην ίδια πλευρά όρίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα: {GH = JI = ... }, και οι κορυφές του πρώτου πολυγώνου-τόξων p1 περιέχονται σε κύκλο, συγκεντρικό του εγγεγραμμένου κύκλου του p.

Το τόξο πολυγώνων p2, των σημείων επαφής του περιγεγραμμένου εξαγώνου με τον εγγεγραμμένο του κύκλο είναι προφανώς κλειστό, αφού οι εφαπτόμενες κύκλου από σημείο είναι ισομήκης. Τα ευθύγραμμα τμήματα, {HG, IJ, LK, ... } είναι ίσα, αφού, ανά ζεύγη, ορίζονται από ζεύγη συγκεντρικών κύκλων. Το πρώτο πολύγωνο-τόξων p1 αποδεικνύεται τότε εύκολα ότι είναι κλειστό. Επειδή τα ίσα τμήματα, που αναφέρθηκαν προηγουμένως, είναι επίσης εφαπτόμενα στον εγγεγραμμένο κύκλο, τα πέρατά τους, που είναι οι κορυφές του p1, περιέχονται σε κύκλο συγκεντρικό του εγγεγραμμένου του αρχικού πολυγώνου p. Γιά μιά συνέχιση της συζήτησης του θέματος δείτε το αρχείο: SuccessiveArcsHex2.html .

The subject is related to the composition of rotations about the vertices of a polygon. The vertices of the arc-polygon p1 constitute an orbit of the group generated by these rotations. Look at the file RotationsOnQuadrangleVertices.html , for a discussion of these matters.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/