SuccessiveArcsPenta

Πεντάγωνο τόξων εγγεγραμμένων

Θεώρησε το περιγεγραμμένο πεντάγωνο p = ABCDE. Ξεκίνησε από αυθαίρετο σημείο E στην πλευρά ED και σχεδίαζε τόξα, με κέντρο στις κορυφές και πέρατα στις προσκείμενες πλευρές, έτσι ώστε το πέρας του ενός να ταυτίζεται με την αρχή του επομένου. Η κατασκευή παράγει ένα πολύγωνο-τόξων-1 p1 = FGHIJKLMNO, που κλείνει πίσω στο σημείο F.
Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζει κανείς το πολύγωνο-τόξων-2 p2 = PQRST, των σημείων επαφής με τον εγγεγραμμένο κύκλο του πολυγώνου p. Τα δύο πολύγωνα τόξων είναι πράγματι κλειστά, οι κορυφές τους στιην ίδια πλευρά όρίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα: {PF = PK = GQ = QL = ... }, και οι κορυφές του πρώτου πολυγώνου-τόξων p1 περιέχονται σε κύκλο, συγκεντρικό του εγγεγραμμένου κύκλου του p.

Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν για περιγεγραμμένα πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών. Γιά τέτοια πολύγωνα το αντίστοιχο πολύγωνο p1, κλείνει μετά από επίσκεψη κάθε πλευράς μιά μόνον φορά και όχι δύο, όπως συμβαίνει στην περίπτωση του περιττού αριθμού πλευρών. Έτσι το προκύπτον πολύγωνο p1 έχει ίδιο πλήθος πλευρών με το αρχικό. Ένα παράδειγμα περιγεγραμμένου εξαγώνου και υποδείξεις γιά τις αποδείξεις περιέχονται στο έγγραφο: SuccessiveArcsHex.html .

Το θέμα συνδέεται με τις συνθέσεις στροφών περί τις κορυφές ενός πολυγώνου. Οι κορυφές του πολυγώνου p1 αποτελούν τροχιά της ομάδας που παράγεται από αυτές τις στροφές. Γι' αυτά τα θέματα δείτε το αρχείο: RotationsOnQuadrangleVertices.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/