SuccessiveArcsHex2

Εξαγωνο τόξων εγγεγραμμένων (2)

Συνέχεια του SuccessiveArcsHex.html . Θεώρησε το περιγεγραμμένο εξάγωνο p = ABCDEF. Ξεκίνησε από αυθαίρετο σημείο G στην πλευρά EF και σχεδίαζε τόξα, με κέντρο στις κορυφές και πέρατα στις προσκείμενες πλευρές, έτσι ώστε το πέρας του ενός να ταυτίζεται με την αρχή του επομένου. Η κατασκευή παράγει ένα πολύγωνο-τόξων-1 p1 = (GJKNOR), που κλείνει πίσω στο σημείο G.
Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζει κανείς το πολύγωνο-τόξων-2 p2 = HILMPQ, των σημείων επαφής με τον εγγεγραμμένο κύκλο του πολυγώνου p. Στο προαναφερθέν έγγραφο αποδεικνύεται ότι τα δύο πολύγωνα τόξων είναι πράγματι κλειστά, οι κορυφές τους στιην ίδια πλευρά όρίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα: {GH = JI = ... }, και οι κορυφές του πρώτου πολυγώνου-τόξων p1 περιέχονται σε κύκλο, συγκεντρικό του εγγεγραμμένου κύκλου του p. Εδώ εξετάζουμε το τρίγωνο t1, που σχηματίζεται από τις διαγώνιες του p1. Δείχνουμε ότι το τρίγωνο αυτό έχει τις κορυφές του επί των διαγωνίων του p. Το ίδιο ισχύει και γιά το τρίγωνο t2, που σχηματίζεται από τις διαγώνιες του p2. Επιπρόσθετα, τα δύο τρίγωνα είναι αντι-ομοθετικά, έχοντα κέντρο ομοθεσίας το σημείο τομής (σημείο του Brianchon) των διαγωνίων του p.

Ξεκινάμε από τις ευθείες PI, MH και FC. Συναντώνται σε σημείο T, σύμφωνα με το θεώρημα του Brianchon. Ανάλογα επιχειρήματα δείχνουν ότι το τρίγωνο t2 = STU, που σχηματίζεται από τις διαγώνιους του p2, έχει τις κορυφές του επί των διαγωνίων του p. Από την ισότητα των τμημάτων (MN = HG), έπεται ότι το NG, μιά διαγώνιος του p1, είναι παράλληλος του MH, που είναι διαγώνιος του p2. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και γιά τις άλλες διαγωνίους. Τότε οι ευθείες NG, OJ, ούσες παράλληλες των MT, PT αντίστοιχα, και σε ίσες αποστάσεις, συναντώνται επίσης επί της CT, επί της οποίας συναντώνται οι MT και PT (δες το HomothetyProperty.html ). Τούτο αποδεικνύει όλα τα θέματα που τέθηκαν.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/