SuccessiveArcsPath

Πολύγωνο διαδοχικών τόξων σε τετράπλευρο

Θεώρησε το τετράπλευρο p = ABCD. Ξεκίνησε από αυθαίρετο σημείο E στην πλευρά AD και σχεδίαζε τόξα, με κέντρο στις κορυφές και πέρατα στις προσκείμενες πλευρές, έτσι ώστε το πέρας του ενός να ταυτίζεται με την αρχή του επομένου. Η κατασκευή παράγει ένα πολύγωνο-τόξων-1 p1 = EFG..., που κλείνει πίσω στο σημείο E, μόνο στην περίπτωση που το πολύγωνο p είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
Ο λόγος που συμβαίνει αυτό εξηγήται στο έγγραφο RotationsOnQuadrangleVertices.html . Εκεί αποδεικνύεται ότι επιστρέφοντας στο αρχικό σημείο E, ορίζεται τμήμα (EI) ίσο προς το διάνυσμα μεταφοράς (v), που παριστά την σύνθεση των τεσσάρων περιστροφών περί τις κορυφές A, B, C και D, κατά τις γωνίες του τετραπλεύρου σ' αυτές.

Ανάλογη συμπεριφορά έχουν και τα πολύγωνα τόξων που εγγράφονται σε πολύγωνα με περισσότερες από τέσσερις πλευρές. Το αντίστοιχο διάνυσμα (EI) είναι μηδέν, όταν το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Υπάρχει και μία διαφορά συμπεριφοράς μεταξύ πολυγώνων άρτιου-περιττού αριθμού πλευρών. Η συζήτηση αυτού του θέματος ξεκινά στο έγγραφο: SuccessiveArcs.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/