[alogo] Περί των διχοτόμων του τριγώνου

Θεώρησε το κέντρο E του εγγεγραμμένου κύκλου (c) του τριγώνου ABC. Έστω D το σημείο επαφής του (c) με την πλευρά BC. Τότε η ευθεία KL, που είναι ορθογώνια στην ευθεία AD στο D, τέμνει τις διχοτόμους από τα B, C σε σημεία K, L, αντίστοιχα, συμμετρικά ως προς το D.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]


Οι επόμενες παρατηρήσεις οδηγούν στην απόδειξη.
(1) Ο κύκλος που διέρχεται από τα JDB τέμνει την ευθεία GD στο F. Το τετράπλευρο BFEJ όντας κυκλικό, η γωνία F είναι ορθή και η EF διέρχεται από το A. Έτσι το F είναι επί της διχοτόμου της A.
(2) Τα ορθογώνια τρίγωνα AGE και AFB είναι όμοια. Άρα, θεωρώντας ένα τρίγωνο AHI, όμοιο του AGE έχοντας μιά κορυφή H κινούμενη στην ευθεία DG, η άλλη κορυφή I κινήται επί της ευθείας BE, δηλ. η διχοτόμος της B (δες το έγγραφο Moving_Similar_Polygons.html γιά το σχετικό υπόβαθρο).
(3) Όταν το H συμπίπτει με το D, τότε το I ταυτίζεται με το K και τα τρίγωνα ADK, AFB, AGE είναι όμοια.
(4) Έστω L το συμμετρικό του K, ως προς το D. Τότε τα τρίγωνα AKJ και ALG είναι ίσα. Τούτο διότι η γων(KAJ) = γων(LAG) και οι πλευρές AK = AL, AJ = AG. Η ισότητα των γωνιών ισχύει διότι η γων(KAL) είναι ίση με την A του τριγώνου ABC.
(5) Επειδή GL = JK και DL = KD = KJ , έχουμε GL = DL και το L είναι επί της μεσοκαθέτου του GD, που είναι η διχοτόμος της C.

Για μιά εφαρμογή αυτού του αποτελέσματος στις συμμετροδιαμέσους του τριγώνου, δείτε το έγγραφο: SymmedianProperty.html .

Produced with EucliDraw©