SymmedianProperty

Συμμετροδιαμέσου ιδιότητα

Έστ b = (QRS) το εφαπτομενικό τρίγωνο, τριγώνου a = (ABC). Στις πλευρές του b, κατά τον ίδιο προσανατολισμό και ξεκινώντας από τις κορυφές του a, πάρε ευθύγραμμα τμήματα AG, BF, κτλ. ισομήκη προς τμήμα DE. Τότε, ο ριζικός άξονας των περικύκλων των τριγώνων (ACG) και (ABF) συμπίπτει με την συμμετροδιάμεσο AQ του τριγώνου ABC διά του A.

Οι επόμενες παρατηρήσεις οδηγούν στις αποδείξεις.
[1] Τα κέντρα I, J των περικύκλων c1 = {ACG}, c2 = {BFA} είναι, αντίστοιχα, επί των διχοτόμων MR, MS του τριγώνου b. Τα ευθύγραμμα τμήματα MI, MJ προβάλλονται ορθογωνίως στα AH, BL, αντίστοιχα, που έχουν το μισό μήκος x των AG=BF=DE. Έτσι, το τρίγωνο c = (JMI) παραμένει όμοιο εαυτού, καθώς μεταβάλλεται το x.
[2] Το μέσον του τμήματος IJ κινήται επί της ευθείας MA, καθώς μεταβάλλεται το x. Τούτο, επειδή το J προβάλλεται ορθογώνια στο K, συμμετρικό του L ως προς την διχοτόμο MS της γωνίας στο S. Έτσι, AK = AH.
[3] Ο ριζικός άξονας των c1, c2, διερχόμενος διά του A και έχων σταθερή κατεύθυνση, ορθογώνια στην κατεύθυνση του IJ, είναι διαρκώς η ίδια ευθεία, ανεξάρτητη της τιμής του x.
[4] Στην ειδική περίπτωση, όπου το x είναι το μήκος του OP, το τρίγωνο (JMI) συμπίπτει με το τρίγωνο (PMO). Τότε η AQ είναι η μεσοκάθετος OP και αυτό την ταυτίζει με την ευθεία που ενώνει το σημείο επαφής A, με την απέναντι κορυφύ Q του τριγώνου b. Τούτο αποδεικνύεται, από μιά συζήτηση περί των διχοτόμων, που αναπτύσσεται στο έγγραφο Διχοτόμοι τριγώνου .
Η προηγούμενη ευθεία, που ταυτίστηκε με την AQ, ειναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC. Το θέμα αυτό εξετάζεται στο έγγραφο: Αντιπαράλληλοι .
Δείτε το έγγραφο Περιστρέφοντας τις πλευρές , γιά μιά εφαρμογή της προηγούμενης συζήτησης σε ένα θέμα της γεωμετρίας του τριγώνου.

Δείτε ακόμη

Αντιπαράλληλοι
Διχοτόμοι τριγώνου
Περιστρέφοντας τις πλευρές
Συμμετροδιάμεσοι

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/