Van_Aubel2

Θεώρημα των Collignon, Van Aubel (II)

Κατασκεύασε τετράγωνα στις πλευρές ενός τετραπλεύρου ABCD. Τα ευθ. τμήματα GE και FH, που ενώνουν τα απέναντι κέντρα των τετραγώνων, όπως στο σχήμα, είναι ίσα και κάθετα μεταξύ τους.

Κάθετα: Θεώρησε τους κύκλους (CDG) και (ΑΒΕ). Προέκτεινε τις DL και LC, αντίστοιχα τις AJ και BJ, όπου L (αντίστοιχα J) είναι τα σημεία τομής των κύκλων με την GE. Τέμνοντας αυτές τις ευθείες ορίζεται το τετράπλευρο IJKL που είναι εγγράψιμο σε κύκλο, διότι στα J και L οι γωνίες του είναι ορθές. Η JL είναι επίσης διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του και οι γωνίες στα J και L είναι όλες 45 μοιρών. Έτσι η IK περνά από τα F και H .

Ισα: Ανάλυσε το EG = EJ + JL + LG και δούλεψε με τον Πτολεμαίο γιά τα μέρη EJ, LG ... Ανάλογα, ανάλυσε και το FH .

Μιά άλλη απόδειξη, που όμως δεν σημειώνει το ενδιαφέρον τετράγωνο IJKL, περιέχεται στο Θεώρημα του Van Aubel .

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Van Aubel

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/