WallaceSimson

Σχετικά με την ευθεία Wallace-Simson

Θεώρησε το τρίγωνο ABC και σημείο D επί του περικύκλου του. Οι προβολές E, F, G του D στις πλευρές του τριγώνου κείνται επί ευθείας L(D): η Wallace-Simson ευθεία του D. Υπάρχουν τρία κυκλικά τετράπλευρα GDEA, DEFC και BFDG. Τα κέντρα τους περιέχονται σε κύκλο (c) διερχόμενο από τα D και J, το περίκεντρο του ABC. Η JD είναι διάμετρος του (c) και συνεπώς ο (c) έχει μήκος ακτίνας το μισό της ακτίνας του περικύκλου και εφάπτεται αυτού. Το τρίγωνο LHI, με κορυφές στα κέντρα αυτών των τριών κύκλων είναι εγγεγραμμένο στον (c) και ομοιόθετο του ABC από το D, με λόγο 1/2. Τα L, H, I είναι αντίστοιχα τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων AD, BD και CD. Η L(D) διέρχεται από το ορθόκεντρο M του LHI, ούσα ευθεία του Steiner S(D) (δες το SteinerLine.html ). Το ορθόκεντρο N του ABC, M και το D είναι επί ευθείας και το M είναι το μέσον της ND. Καθώς το D κινήται επί του περικύκλου, τα σημεία L, H και I κινούνται επί κύκλων με διαμέτρους JA, JB and JC αντίστοιχα. Η ευθεία PQ, ριζικός άξονας του κύκλου Euler (e) του ABC και του (c) περιβάλλει μιά έλλειψη (κωνική εν γένει) με εστίες στα O (κέντρο του e) και το J (περίκεντρο) και μείζονα κύκλο τον κύκλο Euler (e).

Ο ισχυρισμός για τα πέντε σημεία L, H, J, I και D, ότι περιέχονται σε κύκλο (c), είναι συνέπεια του θεωρήματος του Miquel's (δες το Miquel_Point.html ). Οι υπόλοιποι ισχυρισμοί έπονται ευκόλως.

Ο ισχυρισμός για την έλλειψη είναι μιά ειδική περίπτωση του θέματος που εξετάζεται στο ThreeCirclesProblem.html και τα αρχεία που αναφέρονται σε αυτό.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/