Έστωσαν a = (O, OB), b = (C, CB) και c = (D, DE) τρεις κύκλοι. Οι (a) και (b) εφάπτονται στο B. Και οι τρεις έχουν σταθερές ακτίνες και το Β κινήται επί του (a) ενώ ο (b) παραμένει συνεχώς εφαπτόμενος του (a) στο Β. Σε κάθε θέση του B σχεδιάζονται οι διχοτόμοι της γωνίας AOB και οι τομές τους F, G με τον ριζικό άξονα των (b) και (c). Δείξε ότι τα F και G κινούνται επί ευθειών καθέτων στην κοινή διάμετρο AD των κύκλων (a) και (c).
Η απόδειξη με χρήση συντεταγμένων, με αρχή το Ο, είναι τετριμμένη. Η επόμενη γεωμετρική απόδειξη οφείλεται στον Ανδρέα Βαρβεράκη.
Θεώρησε τους κύκλους d = (C',C'H), e = (C'',C''A), συμμετρικούς του (b) ως προς τις ευθείες OG και OF αντίστοιχα. Προφανώς τα G και F είναι ριζικά κέντρα των τριάδων των κύκλων: ((b),(d),(c)) and ((b),(e),(c)) αντίστοιχα. Επειδή, σε κάθε τριάδα, οι δύο τελευταίοι κύκλοι είναι σταθεροί, οι ευθείες [LG] και [KF] είναι επίσης σταθερές. Η περιβάλλουσα των ευθειών [FG] είναι μιά έλλειψη.
Δείτε το αρχείο Τριών κύκλων πρόβλημα (ΙΙ) , εάν ενδιαφέρεσθε γιά το θέμα.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Πρόβλημα τριών κύκλων ![[0_0]](ThreeCirclesProblem_files/ThreeCirclesProblem_0_0_0.png)
![[0_1]](ThreeCirclesProblem_files/ThreeCirclesProblem_0_0_1.png)
![[1_0]](ThreeCirclesProblem_files/ThreeCirclesProblem_0_1_0.png)
![[1_1]](ThreeCirclesProblem_files/ThreeCirclesProblem_0_1_1.png)