MEM-255 Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρμογές

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ5)	Επιλογής Προχωρημένο
Έτος/εξάμηνο	3ο ή 4ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-106, MEM-211, MEM-107
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο υπολογιστή
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εργαστηριακές ασκήσεις

Μαθησιακά αποτελέσματα

Mετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο στόχος είναι οι φοιτητές:

• Να έχουν γνώση της βασικής θεωρίας βέλτιστων προσεγγίσεων και τις απαντήσεις στο γενικό ερώτημα ύπαρξης και μοναδικότητας αυτών.
• Να αναγνωρίζουν προβλήματα βελτιστοποίησης τα οποία διατυπώνονται ως προβλήματα βέλτιστων προσεγγίσεων, όπως το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων.
• Να γνωρίζουν και να υλοποιούν αλγορίθμους για τον υπολογισμό βέλτιστων προσεγγίσεων.
• Να γνωρίζουν και να υλοποιούν τεχνικές παρεμβολής δεδομένων και γνωρίζουν τη μαθηματική θεωρία για την εκτίμηση των αναμενόμενων σφαλμάτων.
• Να γνωρίζουν και να υλοποιούν σύνθετες τεχνικές αριθμητικής ολοκλήρωσης και να γνωρίζουν πως γίνεται η εκτίμηση του σφάλματος.
• Να γνωρίζουν τις προσεγγιστικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών πολυωνύμων και των πολυωνύμων, και τις αντίστοιχες εφαρμογές τους.
• Να μπορούν να συνδυάζουν τις παραπάνω τεχνικές για να λύσουν ένα σύνθετο πρόβλημα.

Περιεχόμενο

• Χώροι με νόρμα. Συμπαγή σύνολα.
• Βέλτιστες προσεγγίσεις: ορισμός, ύπαρξη και μοναδικότητα.
• Βέλτιστες προσεγγίσεις σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο. Κανονικές εξισώσεις και αναπτύγματα Fourier. Ορθογώνια πολυώνυμα.
• Ομοιόμορφη προσέγγιση: χαρακτηρισμός βέλτιστων ομοιόμορφων προσεγγίσεων και υπολογισμός τους με τη μέθοδο Remez. Προσεγγιστικές ιδιότητες των πολυωνύμων. Πολυώνυμα Chebyshev και Bernstein. Καμπύλες Bezier και ο αλγόριθμος De Casteljau. Τριγωνομετρικά πολυώνυμα και θεωρήματα Jackson.
• Παρεμβολή σε μια και δύο διαστάσεις. Παρεμβολή με κατά τμήματα πολυωνυμικές συναρτήσεις. Προσεγγιστικές ιδιότητες των κατά τμήματα πολυωνυμικών συναρτήσεων και εφαρμογές.
• Tύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης Newton-Cotes, Romberg, Gauss, Euler-MacLaurin. Τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης σε δύο διαστάσεις.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• Γ. Δ. Ακρίβης και Β. Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, ΠΕΚ, 2015.
• Γ. Δ. Ακρίβης, Θεωρία Προσεγγίσεων, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. (Σημειώσεις).
• Τ. J. Rivlin, An Introduction to the Approximation of Functions, Dover Publications.
• G. Hӓmmerlin – K.-H. Hoffmann, Numerical Mathematics, Springer-Verlag.

Περιγράμματα μαθημάτων

• ΜΕΜ-255 Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρμογές, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• ΜΕΜ-255 Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρμογές, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών