ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ)

Χειμερινό Εξάμηνο 2022

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Tρίτη 11:15-13:00 στην Α212 και Πέμπτη 13:15-15:00 στην Α208.

Κύριο Σύγγραμμα: Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis. Princeton Lectures in Analysis (Book 3).

Αλλα Συγγράματα: (1) R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis.
(2) N. Carothers, Real Analysis (Part III). (3) G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, μετρήσιμα σύνολα και μέτρο Lebesgue, μη μετρήσιμα σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα προσέγγισης, θεώρημα Egorov και Lusin, ολοκλήρωμα Lebesgue, βασικές ιδιότητες και οριακά θεωρήματα, πληρότητα χώρου ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα προσέγγισης από κλιμακωτές και συνεχείς, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, θεωρία μέτρου σε γενικούς χώρους με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή και εφαρμογές, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym, μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού.

Ώρες γραφείου: Tρίτη 13:00-14:00 και Πέμπτη 15:00-16:00.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος 40%, Τελικό διαγώνισμα: 40%.

Ανακοινώσεις

19/9: Το πρώτο μάθημα θα γίνει την Τρίτη 27/9.

25/10: Η πρόοδος θα γίνει την Πέμπτη 10 Νοεμβρίου 11:30-2:30 στην αίθουσα Β214. Ύλη: Ότι θα κάνουμε μέχρι τις 3 Νοεμβρίου. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως λύσεις ασκήσεων).

10/11: Tα θέματα της προόδου είναι εδώ.

15/11: Την Παρασκευή 18/11 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 9:15-11:00 στην A212.

1/12: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 9 Ιανουαρίου στις 9:15-14:00 στην Β212. Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

10/1: Tα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (27, 29 Σεπτεμβρίου): Δομή ανοιχτών υπoσυνόλων του ευκλείδιου χώρου, εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, πρώτες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα υπολογισμού εξωτερικού μέτρου. Σελίδες xv-xix και 1-11 από το κύριο σύγγραμμα.

2η Εβδομάδα (4, 6 Οκτωβρίου): Tο σύνολο Cantor, επιπλέον βασικές ιδιότητες εξωτερικού μέτρου, μετρήσιμα σύνολα, βασικές ιδιότητες. Σελίδες 8-18 από το κύριο σύγγραμμα.

3η Εβδομάδα (11, 13 Οκτωβρίου): Μέτρο Lebesgue, αριθμήσιμη προσθετικότητα, θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα, σύνολα Borel, παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου (σύνολο Vitali), η συνάρτηση Cantor-Lebesgue. Σελίδες 19-26 και 38 από το κύριο σύγγραμμα.

4η Εβδομάδα (18, 20 Οκτωβρίου): Mετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, Riemann ολοκληρώσιμη συνεπάγεται σχεδόν παντού συνεχής, Θεωρήματα προσέγγισης (κατά σημείο) από απλές, κλιμακωτές, και συνεχείς συναρτήσεις. Σελίδες 27-33 από το κύριο σύγγραμμα.

5η Εβδομάδα (25, 27 Οκτωβρίου): Θεώρημα Egorov και Lusin, oρισμός ολοκληρώματος Lebesgue για απλές συναρτήσεις, ορισμός ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, πρώτες βασικές ιδιότητες. Σελίδες 33-34, 49-53 από το κύριο σύγγραμμα και 311-316 από το βιβλίο του Carothers.

6η Εβδομάδα (1, 3 Νοεμβρίου): Οριακά θεωρήματα (φραγμένης, μονότονης, και κυριαρχημένης σύγκλισης, λήμμα Fatou), εναλλαγή άπειρου αθροίσματος και ολοκληρώματος, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, θεωρήματα προσέγγισης στον L^1 από κλιμακωτές και συνεχείς, εφαρμογές θεωρημάτων προσέγγισης. Σελίδες 53-67 και 71-73 από το κύριο σύγγραμμα.

7η Εβδομάδα (8, 10 Νοεμβρίου): Λύση ασκήσεων από προηγούμενα διαγωνίσματα και πρόοδος.

8η Εβδομάδα (15, 18 Νοεμβρίου): O χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, πληρότητα, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, προετοιμασία για το θεώρημα Fubini, θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους. Σελίδες 68-71 και 75-83 από το κύριο σύγγραμμα.

9η Εβδομάδα (22, 24 Νοεμβρίου): Γράφημα μετρήσιμης συνάρτησης και εμβαδό κάτω από το γράφημα, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, παραδείγματα γενικών χώρων με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή. Σελίδες 83-86, άσκηση 21, σελίδες 108-114 (αποδείξαμε όμως μόνο σύγκλιση στον L^1) και 261-268 από το κύριο σύγγραμμα.

10η Εβδομάδα (29 Νοεμβρίου, 1 Δεκεμβρίου): Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή-Kolmogorov, μέτρα γινόμενο, μέτρα σε χώρους ακολουθιών, μέτρα Bernoulli και κατασκευή ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών. Σελίδες 269-273, 276-277 από το κύριο σύγγραμμα.

11η Εβδομάδα (6, 8 Δεκεμβρίου): Χαρακτηρισμός μέτρων πιθανότητας στην πραγματική ευθεία, διακριτά, απόλυτα συνεχή, συνεχή ιδιάζοντα μέτρα, γενικοί χώροι με μέτρο, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωση, οριακά θεωρήματα, θεωρήματα προσέγγισης για σ-πεπερασμένα μέτρα Borel, θεώρημα Fubini και Tonelli, Σελίδες 273-279, 282-289 από το κύριο σύγγραμμα.

12η Εβδομάδα (13, 15 Δεκεμβρίου): Προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn και διάσπαση Jordan, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym. Σελίδες 285-289 από το κύριο σύγγραμμα και 85-91 από το βιβλίο του Folland.

13η Εβδομάδα (20 Δεκεμβρίου): Μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού. Σελίδες 98-108, 127-130, από το κύριο σύγγραμμα.

Φυλλάδια Ασκήσεων