ΜEM 271 | Department of Mathematics and Applied Mathematics

Διδάσκων: Γεώργιος Κοσιώρης, E322. E-mail: kosioris [at] uoc gr

Ώρες διαλέξεων: Τρίτη 1:00-3:00 μμ και Πέμπτη 3:00-5:00 μμ, Α201.

Ώρες ασκήσεων: Εργαστήριο ασκήσεων Τρίτη 11:00-1:00 μμ, Ε212 (O διδάσκων και οι προπτυχιακοί φοιτητές Ιωάννης Σοφράς-Καραντής, Ευάγγελος Πετρίδης). Επίλυση ασκήσεων Παρασκευή 3:00-5:00 μμ, Α201 (Σταύρος Ελευθεράκης, μεταπτυχιακός φοιτητής).

Ώρες γραφείου: Τετάρτη 3-5μμ

Κατανόηση των βασικών μεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων και των βασικών γραμμικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Πιό αναλυτικά θα διδαχθούν οι παρακάτω ενότητες:

Μέρος Ι (συνήθεις διαφορικές εξισώσεις)

Εισαγωγή με παραδείγματα από φυσική.
Εξισώσεις με χωρισμένες μεταβλητές και εξισώσεις που ανάγονται σε αυτές.
Πλήρεις εξισώσεις, ολοκληρωτικός παράγοντας.
Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης και εξισώσεις που ανάγονται σε αυτές (Bernoulli, Riccati).
Γραμμικές εξισώσεις ανώτερης τάξης, γενική λύση. Γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές ανώτερης τάξης, εξίσωση Euler.
Μη ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, μέθοδος μεταβαλλόμενων σταθερών, μέθοδος προσδιοριζόμενων συντελεστών.

Μέρος ΙΙ (γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους με δυο ανεξάρτητες μεταβλητές)

Εισαγωγή με παραδείγματα από φυσική.
Εξισώσεις πρώτης τάξης, συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης.
Ταξινόμηση εξισώσεων δεύτερης τάξης.
Κυματική εξίσωση, πρόβλημα Cauchy, τύπος d’Alembert.
Σειρές Fourier (βασικές έννοιες).
Μέθοδος Fourier για την κυματική εξίσωση και για την εξίσωση θερμότητας, συνοριακές συνθήκες Dirichlet και Neumann. Εξίσωση Laplace.

Διδακτικό υλικό

Για τις ανάγκες του μαθήματος θα χρησιμοποιηθούν:

Στοιχειώδεις Διαφορικές Εξισώσεις και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών, W. E. Boyce, R.C. Di Prima, Π.Ε. ΕΜΠ
Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις, A. Τερσένοβ

Ροή Διαλέξεων

1η εβδομάδα: Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων στις σύγχρονες επιστήμες. Γραμμικές εξισώσεις α' τάξης.

2η εβδομάδα: Χαρακτηριστικά μη γραμμικών εξισώσεων. Εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών.

3η εβδομάδα: Ακριβείς εξισώσεις και ολοκληρώνοντες παράγοντες.

4η εβδομάδα: Γραμμικές εξισώσεις β' τάξης. Εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Πραγματικές και μιγαδικές ρίζες.

5η εβδομάδα: Εξισώσεις β' τάξης με σταθερούς συντελεστές. Διπλή ρίζα. Μέθοδος υποβιβασμού της τάξης. Εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές ανώτερης τάξης.

6η εβδομάδα: Μη ομογενές πρόβλημα. Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών, μέθοδος μεταβαλλόμενων συντελεστών.

7η εβδομάδα: Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Διαγράμματα φάσεων για 2x2 γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές.

8η εβδομάδα: Διαγράμματα φάσεων για 2x2 γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές. Διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων α' τάξης.

9η εβδομάδα: Μέθοδος Fourier για την εξίσωση θερμότητας - Σειρές Fourier.

10η εβδομάδα: Σειρές Fourier - Αρτια και περιττή επέκταση.

11η εβδομάδα: Μέθοδος Fourier για την εξίσωση θερμότητας και την κυματική εξίσωση - μη ομογενείς εξισώσεις.

12η εβδομάδα: Μέθοδος Fourier για την εξίσωση θερμότητας και την κυματική εξίσωση - συνοριακές συνθήκες Neumann

13η εβδομάδα: Εξίσωση Laplace

Αξιολόγηση

Ο τελικός βαθμός, Β, του μαθήματος θα υπολογιστεί από τον τύπο B = 0.40 * Π + 0.70 * T. Εδώ Π είναι ο ο βαθμός της προόδου και Τ ο βαθμός του τελικού διαγωνίσματος. Η πρόοδος θα διεξαχθεί στις 24 Απριλίου και θα είναι κοινή και για τα δύο τμήματα διδασκαλίας. Η πρόοδος είναι υποχρεωτική.