10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις 10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις 10.2 Η μέθοδος Galerkin για ελλειπτικά προβλήματα

10.1 Μεταβολικό πρόβλημα

Στην παράγραφο αυτή θα υποθέσουμε ότι το $\Omega$ είναι ένα φραγμένο χωρίο στον $\mathbb{R}^{d}$ , $d\geq 2$ , με σύνορο $\partial\Omega$ και θα θεωρήσουμε προβλήματα συνοριακών τιμών για ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Τυπικά παραδείγματα ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων αποτελούν, για παράδειγμα, η εξίσωση του Laplace $\Delta u=0$ και η εξίσωση του Poisson $-\Delta u=f$ , όπου για $u:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}$ , $x=(x_{1},\dots,x_{d})^{T}$ , συμβολίζουμε $\Delta u=\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}$ . Γενικότερα, θεωρούμε τη μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

-\sum_{i,j=1}^{d}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(a_{ij}(x)\frac{\partial u% (x)}{\partial x_{j}}\right)+a_{0}(x)u(x)=f(x),\quad x\in\Omega,

(10.1)

όπου $a_{ij}\in C^{1}(\bar{\Omega})$ , $i,j=1,\dots,d$ και με $\bar{\Omega}$ συμβολίζουμε τη κλειστότητα του $\Omega$ , $\bar{\Omega}=\Omega\cup\partial\Omega$ . Επίσης, υποθέτουμε ότι $a_{ij}=a_{ji}$ , $i,j=1,\dots,d$ και ότι ο πίνακας $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{d}$ είναι ομοιόμορφα θετικά ορισμένος, δηλαδή υπάρχει σταθερά $\underline{c}>0$ , τέτοια ώστε

\sum_{i,j=1}^{d}a_{ij}(x)\xi_{i}\xi_{j}\geq\underline{c}\sum_{i=1}^{d}\xi_{i}^% {2},\quad\forall\,x\in\bar{\Omega},\;\xi\in\mathbb{R}^{d}.

(10.2)

Υποθέτουμε, επίσης, ότι $f,a_{0}\in C(\bar{\Omega})$ και ότι $a_{0}\geq 0$ στο $\bar{\Omega}$ . Η συνθήκη (10.2) καλείται συνθήκη της ομοιόμορφης ελλειπτικότητας και η εξίσωση (10.1) ελλειπτική εξίσωση. Σε προβλήματα συνοριακών τιμών, η εξίσωση (10.1) συνοδεύεται, συνήθως, από μια από τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες, στο σύνορο του $\Omega$ , $\partial\Omega$ , όπου $g$ είναι μια δοσμένη συνάρτηση:

a.

αν $u=g$ στο $\partial\Omega$ , τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Dirichlet,
b.

αν $\sum_{i,j=1}^{d}a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\nu_{j}=g$ στο $\partial\Omega$ , όπου $\nu=(\nu_{1},\dots,\nu_{d})^{T}$ το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στο $\partial\Omega$ , τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Neumann,
c.

και αν $\sum_{i,j=1}^{d}a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\nu_{j}+\sigma u=g$ στο $\partial\Omega$ , όπου $\sigma\geq 0$ στο $\partial\Omega$ , τότε η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Robin.

Ξεκινούμε με τη μελέτη του ελλειπτικού προβλήματος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, δηλαδή,

	$\displaystyle-\sum_{i,j=1}^{d}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(a_{ij}(x)% \frac{\partial u}{\partial x_{j}}\right)+a_{0}(x)u$	$\displaystyle=f(x),\quad x\in\Omega,$		(10.3)
	$\displaystyle u$	$\displaystyle=0,\quad x\in\partial\Omega,$		(10.4)

όπου οι $a_{ij},a_{0}$ και $f$ είναι όπως και στην (10.1). Όπως και στο Κεφάλαιο 4 για το πρόβλημα των δύο σημείων, θα γενικεύσουμε την έννοια της λύσης του προβλήματος (10.3)–(10.4) εξασθενώντας τις προφανείς συνθήκες ομαλότητας που πρέπει να ικανοποιεί. Συγκεκριμένα, θα λέμε ότι μια συνάρτηση $u\in C^{2}(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})$ η οποία ικανοποιεί τις (10.3) και (10.4) ονομάζεται κλασική λύση. Από τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, δείτε για παράδειγμα (Gilbarg and N. S. Trudinger, (1983)), προκύπτει ότι αν το $\partial\Omega$ είναι αρκετά ομαλό και οι συναρτήσεις $a_{ij},a_{0}$ και $f$ ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες ομαλότητας και τη συνθήκη ομοιόμορφης ελλειπτικότητας (10.2), τότε το πρόβλημα (10.3)–(10.4) έχει μοναδική κλασική λύση.

Στη συνέχεια, θα συμβολίζουμε με $C^{\kappa}_{0}(\Omega)$ , $C_{0}^{\kappa}(\Omega)=\{v\in C^{\kappa}(\Omega):v=0\text{ στο }\partial\Omega\}.$ Αν τώρα $u$ είναι η κλασική λύση του (10.3)–(10.4), τότε για κάθε $v\in C_{0}^{1}(\Omega)$ έχουμε

		$\displaystyle-\sum_{i,j=1}^{d}\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial x_{i}}% \left(a_{ij}(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_{j}}\right)v(x)\,dx+\int_{% \Omega}a_{0}(x)u(x)v(x)\,dx$
		$\displaystyle\quad=\int_{\Omega}f(x)v(x)\,dx.$

Ολοκληρώνοντας κατά μέρη το αριστερό μέλος της προηγούμενης σχέσης και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $v=0$ στο $\partial\Omega$ , λαμβάνουμε για κάθε $v\in C_{0}^{1}(\Omega)$ ,

\begin{split}&\displaystyle\sum_{i,j=1}^{d}\int_{\Omega}a_{ij}(x)\frac{% \partial u(x)}{\partial x_{j}}\frac{\partial v(x)}{\partial x_{i}}\,dx+\int_{% \Omega}a_{0}(x)u(x)v(x)\,dx\\ &\displaystyle\qquad=\int_{\Omega}f(x)v(x)\,dx.\end{split}

(10.5)

Για την ισχύ της (10.5) δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουμε ότι $u\in C^{2}(\Omega)$ . Αρκεί, για παράδειγμα, η $u$ όσο και οι μερικές παράγωγοί $\frac{\partial u}{\partial x_{i}}$ , $i=1,\ldots,d$ , να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και, επιπλέον η $u$ να μηδενίζεται στο σύνορο του $\Omega$ . Η περαιτέρω γενίκευση του χαρακτηρισμού της λύσης του προβλήματος (10.3)–(10.4) απαιτεί στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης τα οποία θα παρουσιάσουμε εν συντομία και παραπέμπουμε τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη στα βιβλία (Adams, (1975), Brezis, (1997), Royden, (1988)).

Οι χώροι Sobolev

Θα περιοριστούμε σε πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο χωρίο $\Omega$ οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες με την έννοια του Lebesgue, βλ. π.χ. (Brezis, (1997), Royden, (1988)). Θα συμβολίζουμε με

\int_{\Omega}f(x)\,dx,

το ολοκλήρωμα Lebesgue της συνάρτησης $f$ στο χωρίο $\Omega$ . Αν μια συνάρτηση $f$ είναι Riemann ολοκληρώσιμη, τότε το ολοκλήρωμα Lebesgue της $f$ ταυτίζεται με το ολοκλήρωμα Riemann της $f$ . Επίσης, ορίζουμε την ακόλουθη νόρμα

\begin{equation*} \| f \|_{L_p(\Omega)}= \left\{\begin{aligned} &\left(\displaystyle\int_{\Omega} | f(x) |^p\, dx\right)^{1/p},&& \text{ για } 1\le p<\infty,\\ &\inf\{ C:|f(x)|\le C: \text{ σχεδόν παντού στο }\Omega\},&&\text{ για } p=\infty. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Οι χώροι Lebesgue ορίζονται τώρα ως εξής:

L_{p}(\Omega)=\{f:\|f\|_{L_{p}(\Omega)}<\infty\}.

Στη συνέχεια, για χάριν συντομίας, θα παραλείπουμε τοn δείκτη $L_{2}(\Omega)$ και θα γράφουμε $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{L_{2}(\Omega)}$ . Στον χώρο $L_{2}(\Omega)$ μπορούμε να ορίσουμε το ακόλουθο εσωτερικό γινόμενο ως εξής:

(u,v)=\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx.

Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $v$ στο $\Omega$ , έχουμε

\int_{\Omega}v(x)\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_{i}}\,dx=-\int_{\Omega}% \frac{\partial v(x)}{\partial x_{i}}\phi(x)\,dx,\quad 1\leq i\leq d,\;\forall% \,\phi\in C_{0}^{1}(\Omega).

Θα γενικέυσουμε την έννοια της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης με τον ακόλουθο τρόπο. Θα λέμε ότι $v$ έχει ασθενείς μερικές παραγώγους, αν υπάρχουν συναρτήσεις $g_{i}$ , $i=1,\dots,d$ , τέτοιες ώστε

\int_{\Omega}v\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}\,dx=-\int_{\Omega}g_{i}\phi% \,dx,\quad 1\leq i\leq d,\;\forall\,\phi\in C_{0}^{1}(\Omega).

Αν η συνάρτηση $v\in C^{1}(\bar{\Omega})$ , τότε οι ασθενείς μερικές παράγωγοι ταυτίζονται με την κλασική μερική παράγωγο $\frac{\partial v}{\partial x_{i}}$ . Όταν υπάρχει η ασθενής μερική παράγωγος μιας συνάρτησης $v$ , θα την συμβολίζουμε και πάλι με $\frac{\partial v}{\partial x_{i}}$ .

Με όμοιο τρόπο τώρα ορίζουμε και την ασθενή μερική παράγωγο $D^{\alpha}v$ , όπου

D^{\alpha}v=\dfrac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\dots% \partial x_{d}^{\alpha_{d}}}.

με $\alpha$ έναν πολυδείκτη $\alpha=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{d})$ . Έτσι $D^{\alpha}v$ είναι η ασθενής παράγωγος της $v$ , αν

\int_{\Omega}vD^{\alpha}\phi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}D^{\alpha}v\phi\,% dx,\quad 1\leq i\leq d,\;\forall\,\phi\in C_{0}^{|\alpha|}(\Omega).

Ορίζουμε τώρα τον χώρο Sobolev $H^{k}(\Omega)$ ως τον χώρο των συναρτήσεων $v$ όπου όλες οι ασθενείς παράγωγοι μέχρι τάξεως $k$ ανήκουν στον $L_{2}(\Omega)$ ,

H^{k}(\Omega)=\{v\in L_{2}(\Omega):D^{\alpha}v\in L_{2}(\Omega)\text{ για }|% \alpha|\leq k\}.

Επίσης, θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο $(v,w)_{k}$ και την αντίστοιχη νόρμα $\|v\|_{k}$

	$\displaystyle(v,w)_{k}=(v,w)_{H^{k}}=\sum_{\|\alpha\|\leq k}\left(D^{\alpha}v,D^% {\alpha}w\right),$
	$\displaystyle\\|v\\|_{k}=\\|v\\|_{H^{k}}=(v,v)_{k}^{1/2}=\left(\sum_{\|\alpha\|\leq k% }\\|D^{\alpha}v\\|^{2}\right)^{1/2}.$

Σημειώνουμε ακόμα ότι αν $v\in L_{2}(\Omega)$ , τότε ο περιορισμός της $v$ σύνορο $\partial\Omega$ του χωρίου $\Omega$ δεν είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση. Φυσικά, αν $v\in C(\bar{\Omega})$ , τότε η $v$ μπορεί να ορισθεί στο $\partial\Omega$ . Μπορούμε να δείξουμε, βλ. π.χ. (Adams, (1975), Brezis, (1997)), ότι αν $v\in H^{1}(\Omega)$ και το $\partial\Omega$ είναι ομαλό ή πολυγωνικό, τότε ο περιορισμός της $v$ στο $\partial\Omega$ είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση.

Θα συμβολίζουμε στη συνέχεια $H_{0}^{1}(\Omega)$ τον χώρο των συναρτήσεων του $H^{1}(\Omega)$ που μηδενίζονται στο σύνορο $\partial\Omega$ ,

H_{0}^{1}(\Omega)=\{v\in H^{1}(\Omega):v\big|_{\partial\Omega}=0\}.

Επιστρέφοντας τώρα στη σχέση (10.5) παρατηρούμε ότι μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια της λύσης του προβλήματος συνοριακών τιμών (10.3) υποθέτοντας ότι $u\in L_{2}(\Omega)$ και $\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\in L_{2}(\Omega),i=1,\ldots,d$ . Μια και η $u$ πρέπει να ικανοποιεί την ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet, είναι φυσικό να θεωρήσουμε το παρακάτω πρόβλημα: Να βρεθεί $u\in H^{1}_{0}(\Omega)$ , τέτοια ώστε

\begin{split}&\displaystyle\sum_{i,j=1}^{d}(a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x% _{j}},\frac{\partial v}{\partial x_{i}})+(a_{0}u,v)=(f,v),\quad\forall\,v\in H% _{0}^{1}(\Omega).\end{split}

(10.6)

Στη συνέχεια, εισάγουμε τη διγραμμική μορφή $a:H^{1}(\Omega)\times H^{1}(\Omega)\to\mathbb{R}$ ,

a(v,w)=\sum_{i,j=1}^{d}(a_{ij}\frac{\partial v}{\partial x_{j}},\frac{\partial w% }{\partial x_{i}}),+(a_{0}v,w),\quad\forall\,v,w\in H^{1}(\Omega)

(10.7)

και το γραμμικό συναρτησιακό $l:L_{2}(\Omega)\to\mathbb{R}$ ,

l(v)=(f,v)\quad\forall\,v\in L_{2}(\Omega).

(10.8)

Με το συμβολισμό αυτό, το πρόβλημα (10.6) γράφεται: Να βρεθεί $u\in H^{1}_{0}(\Omega)$ , τέτοια ώστε

a(u,v)=l(v)\quad\forall\,v\in H_{0}^{1}(\Omega).

(10.9)

Η εξίσωση (10.6) (ή (10.9)) ονομάζεται ασθενής ή μεταβολική μορφή του προβλήματος συνοριακών τιμών (10.3)–(10.4) και η λύση του ασθενής λύση.

Αν σε έναν γραμμικό χώρο $V$ με εσωτερικό γινόμενο $(\cdot,\cdot)_{V}$ κάθε ακολουθία Cauchy $\{v_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subset V$ είναι συγκλίσουσα σε ένα στοιχείο $v\in V$ , ως προς τη νόρμα $\|\cdot\|_{V}$ που παράγεται από το $(\cdot,\cdot)_{V}$ , τότε ο χώρος καλείται χώρος Hilbert. Η ύπαρξη μοναδικής ασθενούς λύσης μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια του θεωρήματος Lax–Milgram, η απόδειξη του οποίου μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, στα (Brezis, (1997), Δουγαλής, (2013)). Στη συνέχεια, διατυπώνουμε το Θεώρημα Lax–Milgram.

Θεώρημα 10.1 (Lax–Milgram).

Έστω $(V,\|\cdot\|_{V})$ ένας (πραγματικός) χώρος Hilbert και $a(\cdot,\cdot)$ μια διγραμμική μορφή στο $V\times V$ , τέτοια ώστε

	$\displaystyle\exists\,\alpha>0\;\;\forall\,v\in V\;\;a(v,v)\geq\alpha\\|v\\|_{V}% ^{2},$		(10.10)
	$\displaystyle\exists\,\beta>0\;\;\forall\,v,w\in V\;\;\|a(v,w)\|\leq\beta\\|v\\|_{% V}\\|w\\|_{V}.$		(10.11)

Έστω, επίσης, $l:V\to\mathbb{R}$ ένα γραμμικό συναρτησιακό για το οποίο

\exists\,\gamma>0\;\;\forall\,v\in V\;\;|l(v)|\leq\gamma\|v\|_{V}.

(10.12)

Τότε, υπάρχει μοναδικό $u\in V$ , τέτοιo ώστε $a(u,v)=l(v)$ για κάθε $v\in V$ .

Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε τις υποθέσεις (10.10)–(10.12) του Θεωρήματος Lax–Milgram για το πρόβλημα (10.3)–(10.4). Πράγματι, με $V=H^{1}_{0}(\Omega)$ και $\|\cdot\|_{V}=\|\cdot\|_{1}$ , έχουμε από την (10.7) με χρήση της ανισότητας Cauchy–Schwarz

	$\displaystyle\|a(v,w)\|$	$\displaystyle\leq\sum_{i,j=1}^{d}\max_{x\in\bar{\Omega}}\|a_{ij}(x)\|\\|\frac{% \partial v}{\partial x_{j}}\\|\,\\|\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\\|+\max_{x% \in\bar{\Omega}}\|a_{0}(x)\|\\|v\\|\,\\|w\\|$
		$\displaystyle\leq C\left\{\sum_{i,j=1}^{d}(\\|\frac{\partial v}{\partial x_{j}}% \\|\,\\|\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\\|)+\\|v\\|\,\\|w\\|\right\}\leq\beta\\|v\\|_% {1}\\|w\\|_{1},$

όπου

C=\max\left\{\max_{1\leq i,j\leq d}\max_{x\in\bar{\Omega}}|a_{ij}(x)|,\;\max_{% x\in\bar{\Omega}}|a_{0}(x)|\right\}.

Οπότε ισχύει η (10.11). Για να δείξουμε τη σχέση (10.10), θα χρειαστούμε το ακόλουθο λήμμα, η απόδειξη του οποίου μπορεί να βρεθεί π.χ. στα (Brezis, (1997), Ciarlet, (2002)).

Λήμμα 10.1 (Ανισότητα Poincaré–Friedrichs).

Για $v\in H^{1}_{0}(\Omega)$ , έχουμε

\|v(x)\|\leq c_{\ast}\left(\sum_{i=1}^{d}\|\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\|% ^{2}\right)^{1/2}\quad\forall\,v\in H^{1}_{0}(\Omega).

(10.13)

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την (10.2) και το γεγονός ότι $a_{0}\geq 0$ στο $\bar{\Omega}$ , έχουμε

a(v,v)\geq\underline{c}\sum_{i=1}^{d}\|\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\|^{2}% +(a_{0}v,v)\geq\underline{c}\sum_{i=1}^{d}\|\frac{\partial v}{\partial x_{i}}% \|^{2}.

(10.14)

Επομένως, συνδυάζοντας τις (10.13) και (10.14), λαμβάνουμε

a(v,v)\geq\frac{\underline{c}}{c_{\ast}}\|v\|^{2},

(10.15)

και αθροίζοντας τις (10.14) και (10.15), παίρνουμε την (10.10) με $\alpha=\underline{c}/(1+c_{\ast})$ . Τέλος, με χρήση της ανισότητας Cauchy–Schwarz, έχουμε

|l(v)|=|(f,v)|\leq\|f\|\|v\|\leq\|f\|\|v\|_{1},

(10.16)

επομένως, ισχύει η (10.12) με $\gamma=\|f\|$ . Έχοντας επαληθεύσει όλες τις υποθέσεις του θεωρήματος Lax–Milgram, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το πρόβλημα (10.9) έχει μοναδική λύση. Επιπλέον, από τις σχέσεις (10.16) και (10.10) έχουμε

\displaystyle\alpha\|u\|_{1}^{2}

\displaystyle\leq a(u,u)=l(u)\leq\|f\|\,\|u\|\leq\|f\|\,\|u\|_{1},

από την οποία λαμβάνουμε το εκ των προτέρων φράγμα για τη λύση

\|u\|_{1}\leq\frac{1}{\alpha}\|f\|.

Παρατήρηση 10.1.

Θεωρούμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών στο $\Omega=(-1,1)$ ,

	$\displaystyle-\Delta u$	$\displaystyle=\mathrm{sgn}\left(\frac{1}{2}-x\right),\quad x\in\Omega,$		(10.17)
	$\displaystyle u$	$\displaystyle=0,\quad x\in\partial\Omega.$		(10.18)

Είναι προφανές ότι το πρόβλημα (10.17)–(10.18) δεν μπορεί να έχει κλασική λύση $u\in C^{2}(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})$ , γιατί διαφορετικά η συνάρτηση $\mathrm{sgn}$ θα έπρεπε να είναι συνεχής στο $\Omega$ , το οποίο δεν συμβαίνει. Παρόλα αυτά είναι εύκολο να βεβαιωθεί ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Lax–Milgram και, επομένως, το πρόβλημα (10.17)–(10.18) έχει μοναδική λύση $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$ .

Μπορούμε, με παρόμοιο τρόπο, να αποδείξουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης ελλειπτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών με άλλες συνοριακές συνθήκες, όπως τις ομογενείς συνθήκες Neumann ή τις συνθήκες Robin, βλ. π.χ. (Brezis, (1997)). Μπορούμε, επίσης, να θεωρήσουμε προβλήματα μεικτών συνοριακών συνθηκών, όπως το

	$\displaystyle-\Delta u$	$\displaystyle=f\quad\text{στο }\Omega$
	$\displaystyle u$	$\displaystyle=0\quad\text{στο }\Gamma_{1}\text{ και }\frac{\partial u}{% \partial n}=g\quad\text{στο }\Gamma_{2},$

όπου $\Gamma_{1}$ είναι μη κενό και $\Gamma_{1}\cup\Gamma_{2}=\partial\Omega$ και $f\in L_{2}(\Omega),g\in L_{2}(\Gamma_{2})$ . Ακολουθώντας την περίπτωση των ομογενών συνθηκών Dirichlet, ορίζουμε

\tilde{H}_{0}^{1}(\Omega)=\{v\in H^{1}(\Omega):v=0\;\;\text{στο}\;\;\Gamma_{1}\},

και θεωρούμε το μεταβολικό πρόβλημα της εύρεσης $u\in\tilde{H}_{0}^{1}(\Omega)$ , τέτοιο ώστε

a(u,v)=l(v),\quad\forall\,v\in\tilde{H}_{0}^{1}(\Omega),

(10.19)

όπου τώρα

a(v,w)=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\frac{% \partial w}{\partial w_{i}}\,dx

και

l(v)=\int_{\Omega}f(x)v(x)\,dx+\int_{\Gamma_{2}}g(s)v(s)\,ds.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα Lax–Milgram με $V=\tilde{H}_{0}^{1}(\Omega)$ , μπορούμε με ανάλογα επιχειρήματα όπως και προηγουμένως να αποδείξουμε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του (10.19).