10.2 Η μέθοδος Galerkin για ελλειπτικά προβλήματα

Ως ένα παράδειγμα, θα θεωρήσουμε το ακόλουθο πρόβλημα με ομογενείς συνθήκες Dirichlet

$-\mathrm{\Delta }u(x)$

$=f(x),x\in \mathrm{\Omega },\text{ με }u(x)=0,x\in \partial \mathrm{\Omega },$

(10.20)

όπου $\mathrm{\Omega }$ είναι ένα φραγμένο, κυρτό, πολυγωνικό χωρίο στον ${ℝ}^2$. Θα υποθέσουμε ότι για το πολυγωνικό χωρίο $\mathrm{\Omega }$ υπάρχει μια πεπερασμένη συλλογή ανοιχτών συνόλων $\{K_i\}$, τέτοια ώστε

$$K_i\cap K_j=\mathrm{\varnothing },\text{αν }i\ne j,\bigcup _i\overline{K_i}=\overline{\mathrm{\Omega }}.$$

(10.21)

Η συλλογή αυτή θα ονομάζεται τριγωνισμός, αν τα σύνολα $K_i$ είναι τρίγωνα και είναι τέτοια ώστε, καμιά κορυφή ενός τριγώνου να μην βρίσκεται στο εσωτερικό της πλευράς ενός άλλου τριγώνου, δείτε το Σχήμα 10.1. Θα συμβολίζουμε με $h_K$ τη διάμετρο του τριγώνου $K$ και $h={\max }_K{h}_K$. Επίσης, θα συμβολίζουμε με ${𝒯}_h$ έναν τριγωνισμό με μέγιστη πλευρά τριγώνων $h$.

Θα αναζητήσουμε τη συνάρτηση $u_h$ στον χώρο $S_h$, τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο $\overline{\mathrm{\Omega }}$ οι οποίες μηδενίζονται στο $\partial \mathrm{\Omega }$ και είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ ένα σε κάθε τρίγωνο $K$ του τριγωνισμού ${𝒯}_h$. Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα (10.20) είναι

$$a(u_h,v_h)=l(v_h)\mathit{\hspace{1em}}\text{για κάθε }{v}_h\in S_h,$$

(10.22)

όπου

$$a(u,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy,l(v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdxdy.$$

Αν $N$ είναι το πλήθος των εσωτερικών κόμβων, $P_i$, $i=1,\mathrm{\dots },N$, δηλαδή των κορυφών των τριγώνων του ${𝒯}_h$ που δεν βρίσκονται στο $\partial \mathrm{\Omega }$, τότε κάθε στοιχείο $v_h\in S_h$ ορίζεται μονοσήμαντα από τις τιμές του σε αυτά τα σημεία. Μια κατάλληλη βάση για τον χώρο $S_h$ αποτελείται από τις συναρτήσεις ${\varphi }_i\in S_h,i=1,\mathrm{\dots }N$, οι οποίες ικανοποιούν

$${\varphi }_i(P_j)={\delta }_{ij},1\le i,j\le N.$$

Πράγματι, o φορέας της συνάρτησης ${\varphi }_i$ αποτελείται από τα τρίγωνα του ${𝒯}_h$ τα οποία έχουν το $P_i$ ως κορυφή. Οι ${\varphi }_i$ είναι γραμμικά ανεξάρτητες, γιατί αν ${\sum }_{i=1}^N{c}_i{\varphi }_i$ $=0$, τότε για $x=x_j$ έχουμε $c_j=0,j=1,\mathrm{\dots },N$. Επιπλέον, αν $\psi \in S_h$, μπορούμε να γράψουμε

$$\psi (x)=\sum _{i=1}^N\psi (P_i){\varphi }_i(x),x\in \overline{\mathrm{\Omega }},$$

(10.23)

γιατί οι συναρτήσεις στο αριστερό και δεξιό μέλος της (10.23) είναι στον $S_h$ και οι τιμές τους συμφωνούν στους εσωτερικούς κόμβους $P_i$. Επομένως οι ${\{{\varphi }_i\}}_{i=1}^N$ αποτελούν βάση του $S_h$. Μπορεί να δειχθεί ότι ο χώρος $S_h$ είναι υπόχωρος του $H_0^1(\mathrm{\Omega })$, δείτε για παράδειγμα (Δουγαλής‚, (2013)). Σημειώνουμε ότι οι συναρτήσεις του $S_h$ είναι, προφανώς, στον $L^2(\mathrm{\Omega })$ και μηδενίζονται κατά σημείο στο σύνορο του $\mathrm{\Omega }$.

Μπορεί να αποδειχθεί, δείτε για παράδειγμα (Brenner and Scott, (2008), Δουγαλής‚, (2013)), ότι ο $S_h=\{\varphi \in C(\overline{\mathrm{\Omega }}):{\varphi |}_K\in {\mathbb{P}}_1,\forall K\in {𝒯}_h,{\varphi |}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\}$, ικανοποιεί τη

$$\underset{\chi \in S_h}{inf}\{\parallel v-\chi \parallel +h\parallel \nabla (v-\chi )\parallel \}\le C{h}^2{\parallel v\parallel }_2\mathit{\hspace{1em}}\text{για }v\in H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega }).$$

Υποθέτουμε ότι έχουμε μια διαμέριση του $\mathrm{\Omega }$ με παράμετρο διαμέρισης $h$ και μια οικογένεια υποχώρων πεπερασμένης διάστασης $\{S_h^r\}$ του $H_0^1(\mathrm{\Omega })$, με $r$ ακέραιο, $r\ge 2$. Επίσης, υποθέτουμε ότι ο $S_h^r$ έχει την ακόλουθη ιδιότητα προσέγγισης, για $2\le s\le r$

$$\underset{\chi \in S_h^r}{inf}\{\parallel v-\chi \parallel +h\parallel \nabla (v-\chi )\parallel \}\le C{h}^s{\parallel v\parallel }_s\mathit{\hspace{1em}}\text{για }v\in H^s(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega }),$$

(10.24)

όπου $C$ είναι μια θετική σταθερά ανεξάρτητη των $h$ και $v$.

Η ιδιότητα προσέγγισης (10.24) μας επιτρέπει τώρα να αποδείξουμε εκτιμήσεις για τα σφάλματα $u-u_h$ και $\nabla (u-u_h)$ με ανάλογο τρόπο όπως στο Θεώρημα 4.2, βλ. π.χ. (Larsson and Thomée, (2009), Johnson, (1987)).

Όπως και στην περίπτωση του προβλήματος δύο σημείων, ένα σημαντικό πρόβλημα στην υλοποίηση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι η διαχείριση των βαθμών ελευθερίας. Έστω τώρα $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ ένα πολυγωνικό χωρίο και ${𝒯}_h$ ένας τριγωνισμός του $\mathrm{\Omega }$, της μορφής (10.21), ο οποίος αποτελείται από τρίγωνα $K$ με $h={\max }_K\mathrm{diam}(K)$. Συγκεκριμένα, έστω $K$ ένα τρίγωνο του τριγωνισμού ${𝒯}_h$ με κορυφές $P_i^{(K)}$ για $i=1,2,3$. Οι τοπικές συναρτήσεις βάσης ${\varphi }_j^{(K)},$ $j=1,2,3$ ανήκουν στον χώρο ${\mathbb{P}}_1(K)$ και ικανοποιούν ${\varphi }_j^{(K)}(P_i^{(K)})={\delta }_{ij}$ για $1\le i,j\le 3$. Επομένως, για τη λύση πεπερασμένων στοιχείων $u_h$ έχουμε

$$u_h(x)=\sum _{j=1}^3{\varphi }_j^{(K)}(x)u_h(P_j^{(K)}),x\in K.$$

(10.26)

Οι πραγματικοί αριθμοί $\{u_h(P_j^{(K)})\},j=1,2,3$, είναι οι τοπικοί βαθμοί ελευθερίας οι οποίοι ορίζουν μονοσήμαντα την $u_h(x)$ στο τρίγωνο $K$. Αν τώρα ο τριγωνισμός ${𝒯}_h$ αποτελείται από $N$ κόμβους $P_i$, $i=1,\mathrm{\dots },N$, (απαριθμούμε και αυτούς που βρίσκονται στο σύνορο), τότε οι κόμβοι $P_1^{(K)},P_2^{(K)},P_3^{(K)}$ του τριγώνου $K$ αντιστοιχούν σε κάποιους κόμβους $P_{j_1},P_{j_2},P_{j_3}$ στην καθολική αρίθμηση των κόμβων του τριγωνισμού. Μας ενδιαφέρει να εκφράσουμε τους τοπικούς βαθμούς ελευθερίας $\{u_h(P_j^{(K)})\},j=1,2,3$ συναρτήσει των καθολικών βαθμών ελευθερίας $u_h(P_j),j=1,\mathrm{\dots },N$. Ως παράδειγμα, ας πάρουμε το χωρίο $\mathrm{\Omega }$ να είναι το τετράγωνο ${[0,1]}^2$, το οποίο διαμερίζουμε σε 32 τρίγωνα και $N=25$ κόμβους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.2. Για χάρη ευκολίας, οι εσωτερικοί κόμβοι αριθμούνται πριν τους συνοριακούς κόμβους. Αν $\tau$ είναι ο αριθμός του σκιασμένου πεπερασμένου στοιχείου στο Σχήμα 10.2, τότε οι κόμβοι $P_5,P_6,P_8$, στην καθολική αρίθμηση των κόμβων, αντιστοιχούν στους κόμβους $P_1^{(\tau )},P_2^{(\tau )},P_3^{(\tau )}$ στην τοπική αρίθμηση των κόμβων του τριγώνου $\tau$. Αν οι βαθμοί ελευθερίας $U_j=u_h(P_j),j=1,\mathrm{\dots },N$ περιέχονται στο διάνυσμα $U={(U_1,U_2,\mathrm{\cdots },U_N)}^T$ και $U^{\tau }={(U_1^{\tau },U_2^{\tau },U_3^{\tau })}^T$, όπου $U_j^{\tau }=u_h(P_j^{(\tau )}),j=1,2,3$ τότε μπορούμε να γράψουμε $U^{\tau }=𝒢U$, όπου $𝒢$ είναι ένας $3\times N$ πίνακας με στοιχεία 0 ή 1. Στο παράδειγμά μας, θα είναι της μορφής

Γενικότερα, αν τα τρίγωνα του τριγωνισμού ${𝒯}_h$ είναι $\{\tau \}$ με $\tau =1,2,\mathrm{\dots },J$ και έστω $i=g(\tau ,j)$, η συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί τον τοπικό δείκτη $j,\mathrm{\hspace{0.17em}1}\le j\le 3$ των κόμβων $P_j^{\tau }$ με τον καθολικό δείκτη $i,\mathrm{\hspace{0.17em}1}\le i\le N$, των κόμβων $P_i$, τότε η $g$ είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο $\{1,2,\mathrm{\dots },J\}\times \{1,2,3\}$, με τιμές στο σύνολο $\{1,2,\mathrm{\dots },N\}$, η οποία υπολογίζεται και αποθηκεύεται εύκολα.

Σημειώνουμε ακόμα, ότι αν ${\mathrm{\Phi }}^{\tau }=[{\varphi }_1^{\tau },{\varphi }_2^{\tau },{\varphi }_3^{\tau }]$ είναι το διάνυσμα των τοπικών συναρτήσεων βάσης, τότε μπορούμε να γράψουμε την αναπαράσταση (10.26) της $u_h$ στο τρίγωνο $\tau$ ως $u_h(x)=\mathrm{\Phi }{(x)}^{\tau }{U}^{\tau }$ και, φυσικά, $\nabla u_h(x)=D{\mathrm{\Phi }}^{\tau }(x)\cdot U^{\tau }$, όπου $D{\mathrm{\Phi }}^{\tau }$ συμβολίζει τον πίνακα

Μπορούμε τώρα να γράψουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα (10.20) στη μορφή

$$\sum _{\tau \in {𝒯}_h}{\int }_{\tau }\nabla u_h\cdot \nabla v_{h}dx=\sum _{\tau \in {𝒯}_h}{\int }_{\tau }f(x)v_{h}dx,\forall v_h\in S_h.$$

Αν τώρα θέσουμε $v_h={\mathrm{\Phi }}^{\tau }{V}^{\tau }$, τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται

$$\sum _{\tau \in {𝒯}_h}{\int }_{\tau }(V^{\tau }{(D{\mathrm{\Phi }}^{\tau })}^{T}D{\mathrm{\Phi }}^{\tau }{U}^{\tau })dx=\sum _{\tau \in {𝒯}_h}{\int }_{\tau }{(V^{\tau })}^T{({\mathrm{\Phi }}^{\tau })}^{T}f(x)dx,\forall v_h\in S_h.$$

Η τελευταία αυτή σχέση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε τόσο τον πίνακα ακαμψίας όσο και το δεξί μέλος αθροίζοντας τις συνεισφόρες από κάθε πεπερασμένο στοιχείο $\tau$ του τριγωνισμού ${𝒯}_h$.