10.5 Ασκήσεις

10.1.

Δείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{-\beta}$ , $x\in(0,1)$ ανήκει στον $L_{2}(0,1)$ , αν $\beta<1/2$ .
10.2.

Δείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=|x|^{-\beta}$ , $x\in\Omega$ , με $\Omega=(0,1)\times(0,1)$ ανήκει στον $L_{2}(\Omega)$ , αν $\beta<1$ .
10.3.

Δείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=|x|^{\beta}$ , $x\in\Omega$ , με $\Omega=(0,1)\times(0,1)$ ανήκει στον $H^{1}(\Omega)$ , αν $\beta>0$ .
10.4.

Δείξτε ότι το πρόβλημα (10.19) έχει μοναδική λύση στον $\tilde{H}_{0}^{1}(\Omega)$ και διατυπώστε μια μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για αυτό το πρόβλημα.
10.5.

Αποδείξτε το Θεώρημα 10.2.
10.6.

Αποδείξτε το Λήμμα 10.2.
10.7.

Αποδείξτε το Θεώρημα 10.3.