3 Πρόβλημα δύο σημείων 3 Πρόβλημα δύο σημείων 3.2 Επίλυση τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος

3.1 Διακριτοποίηση

Θεωρούμε το πρόβλημα δύο σημείων για μια συνήθη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet: Ζητείται μια συνάρτηση $u$ $\in C^{2}[a,b]$ , τέτοια ώστε

-u^{\prime\prime}(x)+q(x)u(x)=f(x),\quad\text{για }x\in[a,b],\quad\text{με}\ u% (a)=u(b)=0,

(3.1)

όπου $a,b\in\mathbb{R}$ , $a<b$ , $q,f\in C[a,b]$ και $q(x)\geq 0$ , για κάθε $x\in[a,b]$ . Στη συνέχεια, θα συμβολίζουμε με $q_{\min}=\min_{x\in[a,b]}q(x)$ .

Θα θεωρήσουμε έναν φυσικό αριθμό $N$ και μια διαμέριση του διαστήματος $[a,b]$ από $N+2$ ισαπέχοντα σημεία $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{N}<x_{N+1}=b$ , όπου $h=x_{i+1}-x_{i}$ , $i=0,\dots,N$ . Τότε, σε κάθε σημείο του διαμερισμού $x_{i}$ , $i=1,\dots,N$ , θα ισχύει:

-u^{\prime\prime}(x_{i})+q(x_{i})u(x_{i})=f(x_{i}),\quad i=1,\dots,N.

(3.2)

Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις των τιμών $u(x_{i})$ της ακριβούς λύσης του (3.1), τις οποίες θα συμβολίζουμε με $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ . Λόγω των συνοριακών συνθηκών $u(x_{0})=u(x_{N+1})=0$ , θέτουμε λοιπόν $U_{0}=U_{N+1}=0$ . Οι τιμές των $U_{i}$ , $i=1,\dots,N$ , προκύπτουν με τον ακόλουθο τρόπο.

Για να προσεγγίσουμε την $u^{\prime\prime}(x)$ στα σημεία $x_{i}$ , $i=1,\dots,N,$ χρησιμοποιούμε την προσέγγιση $\delta^{c}_{h,2}$ που θεωρήσαμε στην (2.8). Έτσι, αν υποθέσουμε ότι $u\in C^{4}[a,b]$ , λόγω της (2.9), η (3.2) γίνεται,

-\dfrac{u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1})}{h^{2}}+q(x_{i})u(x_{i})=f(x_{i})+\eta% _{i},\quad i=1,\dots,N,

(3.3)

όπου

|\eta_{i}|\leq\dfrac{h^{2}}{12}\max_{x\in[a,b]}|u^{(4)}(x)|.

(3.4)

Συνεπώς, έχουμε ότι ισχύει το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 3.1.

Έστω $u$ η λύση του (3.1) με $u\in C^{4}[a,b]$ . Τότε για την $\eta_{i}$ που δίνεται στην (3.3) έχουμε ότι υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|\leq Ch^{2}.

(3.5)

Για να κατασκευάσουμε, λοιπόν, προσεγγίσεις $U_{i}$ των $u(x_{i})$ , $i=0,\dots,$ $N+1,$ θεωρούμε τις ακόλουθες εξισώσεις

	$\displaystyle-\dfrac{U_{i+1}-2U_{i}+U_{i-1}}{h^{2}}+q(x_{i})U_{i}$	$\displaystyle=f(x_{i}),\quad i=1,\dots,N,$		(3.6)
	$\displaystyle U_{0}=U_{N+1}$	$\displaystyle=0.$		(3.7)

Επομένως, οι εξισώσεις (3.6)–(3.7) δίνουν ένα αριθμητικό σχήμα για την προσέγγιση της ακριβούς λύσης του προβλήματος (3.1). Τότε, για αυτό το αριθμητικό σχήμα, το σφάλμα $\eta_{i}$ που δίνεται στην (3.3) καλείται τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης.

Αν το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης ενός αριθμητικού σχήματος σε ένα σημείο ενός διαμερισμού με βήμα $h$ , φράσσεται κατά απόλυτη τιμή από το γινόμενο μιας θετικής σταθεράς, ανεξάρτητης του $h$ , επί $h$ υψωμένο σε μια δύναμη $\kappa\geq 1$ , τότε λέμε ότι το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης έχει τάξη ακρίβειας $\kappa$ .

Στην (3.4) η ποσότητα $h$ είναι υψωμένη στη δεύτερη δύναμη, οπότε η τάξη ακρίβειας του τοπικού σφάλματος διακριτοποίησης της μεθόδου (3.6)–(3.7) είναι δύο.

Μια επιθημητή ιδιότητα του τοπικού σφάλματος διακριτοποίησης είναι αυτό να τείνει στο μηδέν κατά απόλυτη τιμή, καθώς το βήμα $h$ του διαμερισμού τείνει στο μηδέν. Αυτή η ιδιότητα καλείται συνέπεια ενός αριθμητικού σχήματος.

Ορισμός 3.1.

Ένα αριθμητικό σχήμα ή μια μέθοδος λέγεται συνεπές ή συνεπής, αντίστοιχα, αν υπό κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας της συνάρτησης που θέλουμε να προσεγγίσουμε, το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης τείνει στο μηδέν, καθώς το βήμα $h$ του διαμερισμού, τείνει στο μηδέν.

Επομένως, λόγω του Λήμματος 3.1, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (3.6)–(3.7) είναι συνεπής.

Αν συμβολίσουμε τώρα με $U\in\mathbb{R}^{N}$ το διάνυσμα με συνιστώσες $U_{1},\dots$ , $U_{N}$ , $U=(U_{1},\dots,U_{N})^{T}$ , μπορούμε να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων (3.6)-(3.7) ισοδύναμα ως γραμμικό σύστημα

(A+h^{2}Q)U=h^{2}F,

(3.8)

όπου $A$ είναι ο $N\times N$ πίνακας

A=\left(\begin{array}[]{ccccc}2&-1&0&&0\\ -1&2&-1&0&\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ &&-1&2&-1\\ &&&-1&2\\ \end{array}\right),

(3.9)

$Q$ είναι ένας διαγώνιος $N\times N$ πίνακας με στοιχεία $q(x_{i})$ , $i=1,\dots,N$ , στη διαγώνιο και $F=(f(x_{1}),\dots,f(x_{N}))^{T}$ .

Στη συνέχεια, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:

Ορισμός 3.2.

Ένας $N\times N$ πίνακας $A$ με στοιχεία $(a_{ij})$ λέμε ότι έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, αν

|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{N}|a_{ij}|,\quad i=1,\dots,N.

Οι πίνακες με αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο είναι αντιστρέψιμοι, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015), Πρόταση 3.3). Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ο πίνακας $A+h^{2}Q$ της (3.8) έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιου, αν $q_{\min}>0$ , και, επομένως, το γραμμικό σύστημα (3.8) έχει μοναδική λύση. Όμως, όπως θα δούμε στη συνέχεια, η υπόθεση ότι $q_{\min}>0$ δεν είναι απαραίτητη για την ύπαρξη μοναδικής λύσης του (3.8).

Επίσης, παρατηρούμε ότι ο πίνακας $A$ στην (3.9) είναι τριδιαγώνιος, δηλαδή αν με $a_{ij}$ , $i,j=1,\dots,N$ , συμβολίζουμε τα στοιχεία του $A$ , τότε $a_{ij}=0$ , για $|i-j|>1$ . Προφανώς, τότε και ο $A+h^{2}Q$ είναι τριδιαγώνιος. Στην επόμενη παράγραφο θα δούμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τριδιαγώνιο πίνακα, χωρίς να είναι απαραίτητο ο πίνακας αυτός να έχει αυστηρά κυριαχική διαγώνιο, βλέπε π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015), Κεφάλαιο 3).