4 Πρόβλημα δύο σημείων: Πεπερασμένα Στοιχεία 4 Πρόβλημα δύο σημείων: Πεπερασμένα Στοιχεία 4.2 Συνθήκες Dirichlet

4.1 Μεταβολικό πρόβλημα

Θεωρούμε το πρόβλημα δύο σημείων με συνοριακές συνθήκες Dirichlet (3.1), δηλαδή ζητούμε μια συνάρτηση $u\in C^{2}[a,b]$ η οποία να ικανοποιεί

-u^{\prime\prime}(x)+q(x)u(x)=f(x),\text{ για }x\in[a,b],\text{ με }u(a)=u(b)=0,

(4.1)

όπου $a, b$ πραγματικοί αριθμοί με $a<b$ και $q,f\in C[a,b]$ με την $q$ να λαμβάνει μη αρνητικές τιμές για κάθε $x\in[a,b]$ . Όπως είδαμε στο Θεώρημα 1.2 το πρόβλημα (4.1) έχει μοναδική λύση.

Για την ανάλυση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων θα θεωρήσουμε το ακόλουθο εσωτερικό γινόμενο

(v,w)=\int_{a}^{b}v(x)w(x)\,dx,\quad v,w\in C[a,b],

και την αντίστοιχη νόρμα $\|\cdot\|$ που παράγεται από αυτό, δηλαδή

\|v\|=(v,v)^{1/2}=\left(\int_{a}^{b}v^{2}(x)\,dx\right)^{1/2}.

Μπορούμε να δούμε, βλέπε Άσκηση 4.1, ότι ισχύει η ανισότητα Cauchy–Schwarz

|(v,w)|\leq\|v\|\,\|w\|\quad v,w\in C[a,b].

Στη συνέχεια, θα συμβολίζουμε με $C_{0}^{\kappa}[a,b]$ τις $\kappa$ φορές συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις, $\kappa\geq 0$ , οι οποίες μηδενίζονται στα άκρα του $[a,b]$ , $C_{0}^{\kappa}[a,b]=\{v\in C^{\kappa}[a,b]:v(a)=v(b)=0\}$ . Αν τώρα θεωρήσουμε το εσωτερικό γινόμενο και των δύο μελών της εξίσωσης (4.1) με μια συνάρτηση $v\in C_{0}^{1}[a,b]$ , παίρνουμε

-(u^{\prime\prime},v)+(qu,v)=(f,v)\quad\forall\,v\in C_{0}^{1}[a,b].

(4.2)

Στη συνέχεια, ολοκληρώνοντας κατά μέρη τον πρώτο όρο στο αριστερό μέλος της (4.2) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $v(a)=v(b)=0$ , έχουμε

(u^{\prime},v^{\prime})+(qu,v)=(f,v)\quad\forall\,v\in C_{0}^{1}[a,b].

(4.3)

Είναι χρήσιμο να γενικεύσουμε τον παραπάνω χαρακτηρισμό της λύσης του προβλήματος (4.1) ως προς την απαιτούμενη συνθήκη ομαλότητας της συνάρτησης $v$ , δηλαδή για συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι $C^{2}[a,b]$ . Θα θεωρήσουμε, στη συνέχεια, τον ακόλουθο υπόχωρο $V$ του $C_{0}[a,b]$ ,

V=\{v\in C_{0}[a,b]:v\text{ είναι κατά τμήματα συνεχώς παραγωγίσιμη}\}.

(4.4)

Λήμμα 4.1 (Ανισότητα Poincaré–Friedrichs).

Έστω $v\in C^{1}_{0}[a,b]$ . Τότε ισχύει η ακόλουθη ανισότητα

\|v\|\leq(b-a)\|v^{\prime}\|.

(4.5)

Απόδειξη.

Επειδή $v(a)=0$ , έχουμε

v(x)=\int_{a}^{x}v^{\prime}(s)\,ds,\quad x\in(a,b).

(4.6)

Χρησιμοποιώντας τώρα την ανισότητα Cauchy–Schwarz, παίρνουμε ότι

|v(x)|^{2}=\left(\int_{a}^{x}v^{\prime}(s)\,ds\right)^{2}\leq\int_{a}^{x}1\,ds% \,\int_{a}^{x}[v^{\prime}(s)]^{2}\,ds.

(4.7)

Συνεπώς, λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα την ακόλουθη σχέση

|v(x)|^{2}\leq(b-a)\,\|v^{\prime}\|^{2},\quad x\in[a,b].

(4.8)

Τελικά, η ανισότητα Poincaré–Friedrichs (4.5) προκύπτει ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της (4.8) στo $[a,b]$ . ∎

Παρατήρηση 4.1.

Το Λήμμα 4.1 ισχύει και για συναρτήσεις $v\in V$ . Πράγματι, έστω μια διαμέριση του $[a,b]$ , $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{N+1}=b$ , τέτοια ώστε $v\in C^{1}(x_{i},x_{i+1})$ , $i=0,\dots,N+1$ . Επίσης, έστω $x\in(a,b)$ και $j$ τέτοιο, ώστε $x\in(x_{j},x_{j+1})$ για $0\leq j\leq N$ . Τότε, αν $j=0$ , προφανώς ισχύει η (4.6), διαφορετικά για $j\geq 1$ , επειδή $v(a)=0$ , έχουμε

v(x)=v(x)-v(x_{j})+\sum_{i=0}^{j-1}[v(x_{i})-v(x_{i+1})]=\int_{a}^{x}v^{\prime% }(s)\,ds,\quad x\in(a,b).

Χρησιμοποιώντας τώρα την ανισότητα Cauchy–Schwarz παίρνουμε την (4.7). Στη συνέχεια, δείχνουμε την (4.5), ακολουθώντας τα ίδια βήματα όπως στο Λήμμα 4.1.

Είναι εύκολο να δούμε ότι έχουμε τώρα

(u^{\prime},v^{\prime})+(qu,v)=(f,v)\quad\forall\,v\in V,

(4.9)

όπου, φυσικά, $v^{\prime}$ είναι κατά τμήματα παράγωγος της $v$ . Θα αναφερόμαστε στον παραπάνω χαρακτηρισμό της λύσης του προβλήματος δύο σημείων ως ασθενής ή μεταβολική μορφή του (4.1), μια και η συνάρτηση $v$ μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα στον χώρο $V$ . Οι συναρτήσεις $v$ του (4.1) καλούνται συναρτήσεις δοκιμής. Η συγκεκριμένη σχέση μας επιτρέπει όχι μόνο να γενικεύσουμε την έννοια της λύσης του προβλήματος (4.1), αλλά και να παράγουμε μια σημαντική κατηγορία μεθόδων για τη λύση του, τις λεγόμενες μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων ή μεθόδους Galerkin που θα θεωρήσουμε στη συνέχεια. Παρατηρήστε ότι η σχέση (4.9) ισχύει, ακόμα και αν $u\in V$ , δηλαδή όταν η $u$ έχει λιγότερη από την απαιτούμενη κλασική ομαλότητα $u\in C^{2}[a,b]$ . Η λύση $u$ του (4.9) καλείται ασθενής λύση του (4.1).

Σημειώνουμε ακόμα ότι αν υποθέσουμε ότι η λύση του προβλήματος (4.1) έχει την κλασική ομαλότητα $u\in C^{2}[a,b]$ , τότε μπορούμε να δείξουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 4.1.

Αν $u\in C_{0}^{2}[a,b]$ η λύση του προβλήματος (4.1), τότε υπάρχει μια σταθερά $C$ η οποία εξαρτάται από τα δεδομένα $a, b$ και $q$ , τέτοια ώστε

\|u\|+\|u^{\prime}\|+\|u^{\prime\prime}\|\leq C\,\|f\|.

(4.10)

Απόδειξη.

Από το πρόβλημα (4.3) έχουμε

\|u^{\prime}\|^{2}\leq\|u^{\prime}\|^{2}+(qu,u)=(f,u),

οπότε χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy–Schwarz,

\|u^{\prime}\|^{2}\leq\|f\|\,\|u\|.

(4.11)

Στη συνέχεια, λόγω της ανισότητας Poincaré–Friedrichs (4.5), παίρνουμε

\|u^{\prime}\|\leq(b-a)\|f\|.

(4.12)

Εφαρμόζοντας άλλη μια φορά την (4.5), λαμβάνουμε

\|u\|\leq(b-a)^{2}\|f\|.

(4.13)

Επίσης, από την (4.1) έχουμε

u^{\prime\prime}=qu-f,

επομένως, συνδυάζοντας τις (4.12)–(4.13) παίρνουμε

\|u^{\prime\prime}\|\leq\max_{a\leq x\leq b}|q(x)|\,\|f\|.

(4.14)

Άρα, από τις (4.12)–(4.14) λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Η σχέση (4.10) αναφέρεται ως ανισότητα της ελλειπτικής ομαλότητας και θα δούμε τη χρησιμότητά της στη μελέτη της μεθόδου Galerkin που θα συναντήσουμε στη συνέχεια.