4 Πρόβλημα δύο σημείων: Πεπερασμένα Στοιχεία 4.1 Μεταβολικό πρόβλημα 4.3 Συνθήκες Neumann

4.2 Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet

Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων ή μέθοδος Galerkin για το συγκεκριμένο πρόβλημα δύο σημείων (4.1), που θα ορίσουμε στη συνέχεια, μπορεί να τεθεί περιορίζοντας τόσο την αναζήτηση της λύσης όσο και τις συναρτήσεις δοκιμής, δηλαδή, τη συνάρτηση $v$ στη σχέση (4.9), σε υπόχωρους του $V$ πεπερασμένης διάστασης. Η απλούστερη μέθοδος Galerkin μπορεί να οριστεί ως εξής: θεωρούμε έναν διαμερισμό του $[a,b]$ σε $N+2$ σημεία, $N\geq 0$ , $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{N+1}=b$ και ορίζουμε το ακόλουθο σύνολο συναρτήσεων

V_{h}=\{\chi\in C[a,b]:\chi(a)=\chi(b)=0,\;\chi|_{[x_{j},x_{j+1}]}\in\mathbb{P% }_{1}\},

όπου $\mathbb{P}_{1}$ είναι ο χώρος των πολυωνύμων βαθμού το πολύ ένα και $h=\max_{j}(x_{j+1}-x_{j})$ . Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι $\mathrm{dim}\,V_{h}=N$ και ότι οι συναρτήσεις

\phi_{j}(x)=\begin{cases}\frac{x-x_{j}}{x_{j}-x_{j-1}},&x_{j-1}\leq x\leq x_{j% },\\ \frac{x_{j+1}-x}{x_{j+1}-x_{j}},&x_{j}\leq x\leq x_{j+1},\\ 0,&\text{ διαφορετικά,}\end{cases}\qquad j=1,\ldots,N,

(4.15)

αποτελούν βάση του χώρου $V_{h}$ , το οποίο φαίνεται από το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 4.2.

Οι συναρτήσεις $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ της (4.15) αποτελούν βάση του χώρου $V_{h}$ .

Απόδειξη.

Αρκεί να δείξουμε ότι οι $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και παράγουν τον χώρο $V_{h}$ . Είναι φανερό ότι οι συναρτήσες $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ είναι στοιχεία του $V_{h}$ . Θεωρούμε τώρα έναν γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων $\phi_{j}$ ο οποίος μηδενίζεται στο $[a,b]$ , δηλαδή

\sum_{j=1}^{N}\lambda_{j}\phi_{j}(x)=0\quad\forall\,x\in[a,b].

Τότε, επειδή $\phi_{i}(x_{j})=0$ για $i\neq j$ και $\phi_{i}(x_{i})=1$ , έχουμε ότι $\lambda_{i}=0$ , $i=1,\dots,N$ . Επομένως, $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Επιπλέον, αν $v\in V_{h}$ , εύκολα βλέπουμε ότι

v(x)=\sum_{j=1}^{N}v(x_{j})\phi_{j}(x)\quad\forall\,x\in[a,b],

διότι οι $v$ και $\sum_{j=1}^{N}v(x_{j})\phi_{j}$ , είναι γραμμικά πολυώνυμα σε κάθε διαστήμα $[x_{i},$ $x_{i+1}]$ και ταυτίζονται στα άκρα του. Συνεπώς, οι συναρτήσεις $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ αποτελούν βάση του χώρου $V_{h}$ . ∎

Θεωρούμε τώρα το ακόλουθο πρόβλημα το οποίο καλείται μέθοδος Galerkin ή πεπερασμένων στοιχείων: Ζητείται $u_{h}\in V_{h}$ , τέτοια ώστε

(u_{h}^{\prime},\chi^{\prime})+(qu_{h},\chi)=(f,\chi),\quad\forall\,\chi\in V_% {h}.

(4.16)

Παρατηρούμε ότι η σχέση (4.16) είναι η ασθενής ή μεταβολική μορφή του (4.1) περιορισμένη στον χώρο $V_{h}$ . Θα δείξουμε καταρχήν ότι η λύση $u_{h}$ του (4.16) υπάρχει και ορίζεται μονοσήμαντα.

Αφού η (4.16) ισχύει, για κάθε $\chi\in V_{h}$ θα ικανοποιείται και για τις $\phi_{j}$ , $j=1,\dots,N$ , επομένως

(u_{h}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})+(qu_{h},\phi_{i})=(f,\phi),\quad\text{ για % }i=1,\dots,N.

(4.17)

Επειδή οι $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ αποτελούν μια βάση του $V_{h}$ , τότε, αν υπάρχει η λύση $u_{h}$ του (4.16), θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ , δηλαδή $u_{h}=\alpha_{1}\phi_{1}+\cdots+\alpha_{N}\phi_{N}$ . Επομένως, η (4.17) είναι ισοδύναμη με την

\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})+\sum_{j=1}^{N}% \alpha_{j}(q\phi_{j},\phi_{i})=(f,\phi_{i}),\quad i=1,\ldots,N.

(4.18)

Η οποία με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο γραμμικό σύστημα

A\alpha=F,

(4.19)

όπου $A$ είναι ένας $N\times N$ πίνακας με στοιχεία $A_{ij}=(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})+(q\phi_{j},\phi_{i})$ , $\,i,j=1,\ldots,N$ , $\alpha=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{N})^{T}$ και $F=(F_{1},\dots,F_{N})^{T}$ με $F_{i}=(f,\phi_{i})$ , $\,i=1,\ldots,N$ . Είναι εύκολο να δούμε ότι ο πίνακας $A$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Πράγματι, έχουμε ότι

A_{ij}=(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})+(q\phi_{j},\phi_{i})=(\phi_{i}^{% \prime},\phi_{j}^{\prime})+(q\phi_{i},\phi_{j})=A_{ji}.

Επίσης, για $w\in\mathbb{R}^{N}$ , $w=(w_{1},\dots,w_{N})^{T}$ ,

w^{T}Aw=\sum_{i,j=1}^{N}w_{i}A_{ij}w_{j}=(v^{\prime},v^{\prime})+(qv,v)=\|v^{% \prime}\|^{2}+\|\sqrt{q}v\|^{2}\geq 0,

όπου $v=\sum_{i=1}^{N}w_{i}\phi_{i}$ . Επειδή $v\in V_{h}$ εύκολα βλέπουμε ότι αν $w^{T}Aw=0$ , τότε η $v$ ειναι η σταθερή συνάρτηση και επειδή $v(a)=0$ , θα έχουμε ότι $v=0$ στο $[a,b]$ , δηλαδή $w=0$ . Επομένως, αφού ο $A$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας, αντιστρέφεται και άρα υπάρχει μοναδικό $\alpha\in\mathbb{R}^{N}$ λύση του (4.19). Συνεπώς, η λύση $u_{h}$ του (4.16) υπάρχει και είναι μοναδική.

Παρατήρηση 4.2.

Η επιλογή των συναρτήσεων $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ της (4.15) ως βάση του χώρου $V_{h}$ δεν είναι απαραίτητη για την απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης $u_{h}$ του (4.16). Η παραπάνω απόδειξη της υπάρξης και μοναδικότητας της $u_{h}$ γενικεύεται για κάθε βάση του $V_{h}$ . Μάλιστα η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να ορισθεί με ανάλογο τρόπο για κάθε υπόχωρο $S_{h}$ του $V$ , στον οποίο έχουμε θεωρήσει ένα σύνολο συναρτήσεων που αποτελούν βάση.

Παρατήρηση 4.3.

Αν και η $u_{h}$ ορίζεται μονοσήμαντα για οποιαδήποτε επιλογή της βάσης του χώρου $V_{h}$ , είναι προφανές ότι η αριθμητική επίλυση του γραμμικού συστήματος $A\alpha=F$ εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη συγκεκριμένη επιλογή. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε ως βάση του $V_{h}$ τις συναρτήσεις (4.15), τότε ο πίνακας $Α$ είναι τριαδιαγώνιος. Παρατηρήστε ότι, εκ κατασκευής, $(q\phi_{j},\phi_{i})=0$ και $(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})=0$ για $|i-j|\geq 2$ . Συνεπώς, το γραμμικό σύστημα $A\alpha=F$ μπορεί να λυθεί με τον αλγόριθμο της Παραγράφου 3.2, δείτε για παράδειγμα (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015)).

Παρατήρηση 4.4.

Ορίζουμε τη διγραμμική μορφή $a(\cdot,\cdot):V\times V\to\mathbb{R}$ ως

a(v,w)=(v^{\prime},w^{\prime})+(qv,w).

Τότε, το συνεχές πρόβλημα (4.9) και το διακριτό πρόβλημα (4.16) γράφονται, αντίστοιχα, ως

	$\displaystyle a(u,v)=(f,v),\quad\forall\,v\in V,$		(4.20)
	$\displaystyle a(u_{h},\chi)=(f,\chi),\quad\forall\,\chi\in V_{h}.$		(4.21)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο αυτές σχέσεις, έχουμε

a(u-u_{h},\chi)=0,\quad\forall\,\chi\in V_{h},

(4.22)

η οποία μπορεί να ερμηνευθεί ως μια σχέση ορθογωνιότητας του σφάλματος $u-u_{h}$ προς τα στοιχεία του χώρου $V_{h}$ .

Έχοντας εξασφαλίσει την ύπαρξη της προσέγγισης $u_{h}$ , αντιμετωπίζουμε τώρα το πρόβλημα της εκτίμησης του σφάλματος $u-u_{h}$ . Ειδικώτερα, στην περίπτωση μιας ομοιόμορφης διαμέρισης του $[a,b]$ με $h=x_{j+1}-x_{j}=1/(N+1)$ , όπου $N$ θετικός ακέραιος, θα δείξουμε ότι $\|u-u_{h}\|\to 0$ όταν $h\to 0$ , για κάποια κατάλληλη νόρμα $\|\cdot\|$ . Για τον σκοπό αυτό, ορίζουμε τον τελεστή παρεμβολής $I_{h}:C_{0}[a,b]\to V_{h}$ , όπου η παρεμβάλουσα $I_{h}v$ μιας συνάρτησης $v\in C_{0}[a,b]$ ορίζεται ως το στοιχείο του $V_{h}$

(I_{h}v)(x)=\sum_{j=1}^{N}v(x_{j})\phi_{j}(x).

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι

(I_{h}v)(x_{j})=v(x_{j}),\quad j=1,\ldots,N,

(4.23)

και μάλιστα είναι το μοναδικό στοιχείο του $V_{h}$ με αυτή την ιδιότητα, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Β. Δουγαλής, (2015)). Επίσης, μπορούμε να δείξουμε χρησιμοποιώντας τη θεωρία παρεμβολής Lagrange, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Β. Δουγαλής, (2015)) ότι

\max_{a\leq x\leq b}|v(x)-(I_{h}v)(x)|\leq\frac{h^{2}}{8}\max_{a\leq x\leq b}|% v^{\prime\prime}(x)|.

Επιπλέον, η $I_{h}$ έχει την ακόλουθη προσεγγιστική ιδιότητα,

Λήμμα 4.3.

Αν $v\in C_{0}^{2}[a,b]$ , τότε υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $h$ και $v$ , τέτοια ώστε

\|v-I_{h}v\|+h\|(v-I_{v}h)^{\prime}\|\leq C\,h^{2}\|v^{\prime\prime}\|.

(4.24)

Απόδειξη.

Γράφουμε $e=v-I_{h}v$ . Λόγω της (4.23), έχουμε $e(x_{j})=0$ , $j=0,\dots,N+1$ . Επομένως, σε κάθε διάστημα $[x_{i},x_{i+1}]$ η $e\in C^{1}_{0}[x_{i},x_{i+1}]$ , οπότε από την ανισότητα Poincaré–Friedrichs (4.5) λαμβάνουμε

\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}e^{2}(x)\,dx\leq h^{2}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}[e^{\prime}(% x)]^{2}\,dx,\quad i=0,1,\ldots,N,

(4.25)

και αθροίζοντας όλες τις παραπάνω σχέσεις, παίρνουμε

\|e\|\leq h\|e^{\prime}\|.

(4.26)

Το θεώρημα του Rolle, στο διάστημα $[x_{i},x_{i+1}]$ μας εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός πραγματικού αριθμού $\xi\in(x_{i},x_{i+1})$ , τέτοιου ώστε $e^{\prime}(\xi)=0$ . Τότε,

e^{\prime}(x)=\int_{\xi}^{x}e^{\prime\prime}(s)\,ds=\int_{\xi}^{x}v^{\prime% \prime}(s)\,ds,\quad x\in[x_{i},x_{x+1}],

από την οποία προκύπτει, με την ανισότητα Cauchy–Schwarz,

|e^{\prime}(x)|^{2}\leq h\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}|v^{\prime\prime}(s)|^{2}\,ds.

Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη στο διάστημα $[x_{i},x_{i+1}]$ , παίρνουμε

\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}|e^{\prime}(x)|^{2}\,dx\leq h^{2}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}|% v^{\prime\prime}(s)|^{2}\,ds.

Τέλος, αθροίζοντας από $i=0$ έως $i=N$ , έχουμε

\|e^{\prime}\|\leq h\|v^{\prime\prime}\|.

(4.27)

O ισχυρισμός του λήμματος προκύπτει τώρα συνδυάζοντας τις (4.26) και (4.27). ∎

Οι ιδιότητες προσέγγισης της παρεμβάλουσας που αποδείχθηκαν στο Λήμμα 4.3 μας επιτρέπουν τώρα να αποδείξουμε εκτιμήσεις για τα σφάλματα $u-u_{h}$ και $u^{\prime}-u_{h}^{\prime}$ :

Θεώρημα 4.2.

Έστω $u\in C^{2}[a,b]$ η λύση του προβλήματος (4.1) και $u_{h}\in V_{h}$ η λύση του μεταβολικού προβλήματος (4.16). Τότε υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $u$ και $h$ , τέτοια ώστε

\|u-u_{h}\|+h\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|\leq Ch^{2}\|u^{\prime\prime}\|.

(4.28)

Απόδειξη.

Από τον ορισμό της διγραμμικής μορφής $a(\cdot,\cdot)$ και τις ανισότητες Cauchy–Schwarz και Poincaré–Friedrichs, έχουμε, για $v,w\in V$ ,

|a(v,w)|\leq\|v^{\prime}\|\|w^{\prime}\|+\max_{x}q(x)\|v\|\|w\|\leq C\|v^{% \prime}\|\|w^{\prime}\|.

(4.29)

Επειδή $q(x)\geq 0$ στο $[a,b]$ , λαμβάνουμε τη θεμελιώδη, για τη συνέχεια της απόδειξης, σχέση

a(v,v)\geq\|v^{\prime}\|^{2}.

(4.30)

Από τη σχέση ορθογωνιότητας (4.22) έχουμε για $\chi\in V_{h}$ ότι

\begin{split}\displaystyle a(u-u_{h},u-u_{h})&\displaystyle=a(u-u_{h},u)-a(u-u% _{h},u_{h})=a(u-u_{h},u)\\ &\displaystyle=a(u-u_{h},u)-a(u-u_{h},\chi)\\ &\displaystyle=a(u-u_{h},u-\chi).\end{split}

Επομένως, από τις σχέσεις (4.29) και (4.30) λαμβάνουμε

\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|^{2}\leq C\,\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|\|u^{% \prime}-\chi^{\prime}\|,

ή ισοδύναμα,

\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|\leq C\,\|u^{\prime}-\chi^{\prime}\|,\quad\forall% \,\chi\in V_{h}.

(4.31)

Επιλέγοντας $\chi=I_{h}u$ στην (4.31) και χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.24), λαμβάνουμε την εκτίμηση του σφάλματος

\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|\leq Ch\|u^{\prime\prime}\|.

(4.32)

Για την εκτίμηση του σφάλματος $\|u-u_{h}\|$ θα χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο δυικό επιχείρημα ή τέχνασμα του Nitsche. Έστω $\psi\in V$ η λύση του προβλήματος

a(\psi,v)=(u-u_{h},v),\quad\forall\,v\in V.

Επίσης, λόγω της ανισότητας της ελλειπτικής ομαλότητας (4.10) έχουμε ότι

\|\psi^{\prime\prime}\|\leq C\|u-u_{h}\|.

(4.33)

Θέτοντας $v=u-u_{h}$ λαμβάνουμε, χρησιμοποιώντας ξανά τη σχέση ορθογωνιότητας (4.22),

\|u-u_{h}\|^{2}=(u-u_{h},u-u_{h})=a(\psi,u-u_{h})=a(u-u_{h},\psi-\chi),

(4.34)

για οποιδήποτε $\chi\in V_{h}$ . Επιλέγουμε τώρα $\chi=I_{h}\psi$ στην (4.34) και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα προσέγγισης (4.24) της παρεμβάλλουσας $I_{h}$ και τη σχέση (4.29), έχουμε

\|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},\psi-I_{h}\psi)\leq Ch\,\|u^{\prime}-u_{h}^{% \prime}\|\,\|\psi^{\prime\prime}\|.

(4.35)

Στη συνέχεια, από τις σχέσεις (4.35) και (4.33) λαμβάνουμε

\|u-u_{h}\|\leq Ch\,\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|.

(4.36)

Συνεπώς, συνδυάζοντας τις (4.32) και (4.36) προκύπτει η ζητούμενη (4.28). ∎

Παρατήρηση 4.5.

Από την απόδειξη του Θεωρήματος 4.2 μπορούμε να δούμε ότι οι εκτιμήσεις σφάλματος (4.28) βασίζονται κατά κύριο λόγο στην προσεγγιστική ιδιότητα που δείξαμε για την παρεμβάλλουσα $I_{h}$ στην (4.24). Έστω ότι υπάρχει ένας υπόχωρος $S_{h}^{r}$ του $V$ , για τον οποίο μπορούμε να δείξουμε ότι ικανοποιεί την ακόλουθη προσεγγιστική ιδιότητα: Υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε για κάθε $v\in C^{r}[a,b]$ , υπάρχει $\chi\in S_{h}^{r}$ , τέτοιο ώστε

\|v-\chi\|+h\|v^{\prime}-\chi^{\prime}\|\leq Ch^{r}\|v\|_{r},

με $\|v\|_{r}=(\sum_{s=0}^{r}\|v^{(s)}\|^{2})^{1/2}$ . Τότε μπορούμε να δείξουμε το ανάλογο της (4.28), βλ. Άσκηση 4.4. Δηλαδή ότι, αν $u\in C^{r}[a,b]$ , τότε η λύση $u_{h}\in S_{h}^{r}$ του αντίστοιχου προβλήματος πεπερασμένων στοιχείων ικανοποιεί τη σχέση

\|u-u_{h}\|+h\|u^{\prime}-u_{h}^{\prime}\|\leq Ch^{r}\|u\|_{r}.