4.3 Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumann

Σε αυτήν την παράγραφο θα θεωρήσουμε και πάλι το πρόβλημα δύο σημειών (4.1) αλλά με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumann, δηλαδή

$$-u^{\prime \prime }(x)+q(x)u(x)=f(x),\text{ για }x\in (a,b),\text{με }{u}^{\prime }(a)=u^{\prime }(b)=0.$$

(4.37)

Για να διασφαλίσουμε τη μοναδικότητα της λύσης του συγκεκριμένου προβλήματος θα υποθέσουμε ότι $q_{\min }={\min }_{x\in [a,b]}q(x)>0$. Συμβολίζουμε τώρα με $\tilde{V}$ τον υπόχωρο του $C[a,b]$,

$$\tilde{V}=\{v\in C[a,b]:v\text{ είναι κατά τμήματα συνεχώς παραγωγίσιμη}\},$$

(4.38)

οι οποίες σε αντίθεση με τον $V$ στην (4.4), δεν μηδενίζονται αναγκαστικά στα άκρα του $[a,b]$. Η ανάλογη με την (4.20) μεταβολική μορφή του προβλήματος (4.37), είναι

$$a(u,v)=(f,v),\forall v\in \tilde{V}.$$

(4.39)

Στη συνέχεια θεωρούμε και πάλι έναν διαμερισμό του $[a,b]$, και συμβολίζουμε με ${\tilde{V}}_h$ τον χώρο των συνεχών κατά τμήματα γραμμικών συναρτήσεων,

$${\tilde{V}}_h=\{\chi \in C[a,b]:{\chi |}_{[x_j,x_{j+1}]}\in {\mathbb{P}}_1\},$$

όπου $h={\max }_j(x_{j+1}-x_j)$. Μια βάση του ${\tilde{V}}_h$ αποτελείται από τις συναρτήσεις ${\{{\varphi }_i\}}_{i=0}^{N+1}$, όπου οι συναρτήσεις ${\varphi }_i$, $1\le i\le N$, είναι αυτές που ορίστηκαν στη σχέση (4.15) και οι ${\varphi }_0$, ${\varphi }_{N+1}$ ορίζονται ως

	${\varphi }_0(x_0)$	$=1,{\varphi }_0(x_j)=0,j\ne 0,$
	${\varphi }_{N+1}(x_{N+1})$	$=1,{\varphi }_{N+1}(x_j)=0,j\ne N+1.$

Επομένως, $\dim {\tilde{V}}_h=N+2$. Θεωρούμε τώρα το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται $u_h\in {\tilde{V}}_h$, τέτοια ώστε

$$a(u_h,\chi )=(f,\chi ),\forall \chi \in {\tilde{V}}_h.$$

(4.40)

Παρόμοια, όπως και στην προηγούμενη παράγραφο, μπορούμε να γράψουμε το (4.40) ισοδύναμα ως ένα γραμμικό σύστημα,

$$Ac=F,$$

όπου ο $A$ είναι ένας $(N+2)\times (N+2)$ συμμετρικός, θετικά ορισμένος, τριδιαγώνιος πίνακας, με στοιχεία $A_{ij}=a({\varphi }_j,{\varphi }_i)$, $i,j=0,\mathrm{\dots },N+1$, $F={((f,{\varphi }_0),\mathrm{\dots },(f,{\varphi }_{N+1}))}^T$ και $c={(c_0,\mathrm{\dots },c_{N+1})}^T$, όπου $u_h={\sum }_{j=0}^{N+1}{c}_j{\varphi }_j$.