6.4 Άμεση μέθοδος του Euler

Επιλέγουμε $\chi =U^{n-1}$ στην (6.38), οπότε

$$(U^n,U^{n-1})-{\parallel U^{n-1}\parallel }^2+k\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel =0.$$

(6.43)

Επίσης, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι

$$2(U^n,U^{n-1})={\parallel U^n\parallel }^2+{\parallel U^{n-1}\parallel }^2-{\parallel U^n-U^{n-1}\parallel }^2.$$

Επομένως, η (6.43) γίνεται

$$\frac{1}{2}({\parallel U^n\parallel }^2-{\parallel U^{n-1}\parallel }^2-{\parallel U^n-U^{n-1}\parallel }^2)+k\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel =0.$$

(6.44)

Επίσης, αν επιλέξουμε $\chi =U^n-U^{n-1}$ στην (6.38), έχουμε

$${\parallel U^n-U^{n-1}\parallel }^2-k({(U^{n-1})}^{\prime },{(U^n)}^{\prime }-{(U^{n-1})}^{\prime })=0.$$

(6.45)

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy–Schwarz και την (6.41), η (6.45) δίνει

	${\parallel U^n-U^{n-1}\parallel }^2$	$\le k\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel {(U^n)}^{\prime }-{(U^{n-1})}^{\prime }\parallel$
		$\le C_1{\displaystyle \frac{k}{h}}\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel U^n-U^{n-1}\parallel .$

Επομένως, λαμβάνουμε

$$\parallel U^n-U^{n-1}\parallel \le C_1\frac{k}{h}\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel .$$

(6.46)

Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα την (6.46) στην (6.44), παίρνουμε

$${\parallel U^n\parallel }^2-{\parallel U^{n-1}\parallel }^2\le (C_1^2\frac{k}{h^2}-2)k\parallel {(U^{n-1})}^{\prime }\parallel .$$

(6.47)

Συνεπώς, λόγω της υπόθεσης $C_1^2{\displaystyle \frac{k}{h^2}}-2\le 0,$ η (6.47) δίνει τη ζητούμενη σχέση (6.42). ∎

Γράφουμε και πάλι $U^n-u(\cdot ,t^n)={\vartheta }^n+{\rho }^n$ με ${\rho }^n=W(\cdot ,t^n)-u(\cdot ,t^n)$ και ${\vartheta }^n=U^n-W(\cdot ,t^n)$. Όπως και προηγουμένως, λόγω της (6.25), αρκεί να εκτιμήσουμε την $\parallel {\vartheta }^n\parallel$. Μπορούμε να δούμε ότι το ${\vartheta }^n$ ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση

$$(\frac{{\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}}{k},\chi )+({({\vartheta }^{n-1})}^{\prime },{\chi }^{\prime })=-({\omega }^n,\chi ),\forall \chi \in V_h,$$

(6.49)

όπου ${\omega }^n={\omega }_1^n+{\omega }_2^n$ και

$${\omega }_1^n=\frac{{\rho }^n-{\rho }^{n-1}}{k},{\omega }_2^n=\frac{u^n-u^{n-1}}{k}-u_t^{n-1}.$$

Παρόμοια, όπως και στο Θεώρημα 6.4, έχουμε

		$({\displaystyle \frac{{\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}}{k}},\chi )+({({\vartheta }^{n-1})}^{\prime },{\chi }^{\prime })$
		$\mathrm{ }=-({\displaystyle \frac{R_h{u}^n-R_h{u}^{n-1}}{k}},\chi )-({(R_h{u}^{n-1})}^{\prime },{\chi }^{\prime })$
		$\mathrm{ }=-({\displaystyle \frac{{\rho }^n-{\rho }^{n-1}}{k}},\chi )-({\displaystyle \frac{u^n-u^{n-1}}{k}},\chi )-({(u^{n-1})}_x,{\chi }^{\prime })$
		$\mathrm{ }=-({\displaystyle \frac{{\rho }^n-{\rho }^{n-1}}{k}},\chi )-({\displaystyle \frac{u^n-u^{n-1}}{k}},\chi )+(u_t^{n-1},\chi )$
		$\mathrm{ }=-({\omega }_1^n+{\omega }_2^n,\chi ),$

Από την (6.27) έχουμε ότι $\parallel {\omega }_1^n\parallel \le C{h}^2$. Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor, παίρνουμε

$$\parallel {\omega }_2^n\parallel =\parallel \frac{u^n-u^{n-1}}{k}-u_t^{n-1}\parallel =k^{-1}\parallel {\int }_{t^{n-1}}^{t^n}(t-t^n)u_{tt}(\cdot ,t)dt\parallel .$$

Συνεπώς, λαμβάνουμε

$$\parallel {\omega }_2^n\parallel \le Ck.$$

(6.50)

Άρα, συνδυάζοντας τις (6.27) και (6.50), έχουμε

$$\parallel {\omega }_n\parallel \le C(k+h^2),n=1,\mathrm{\dots },M.$$

(6.51)

Στη συνέχεια, θα ακολουθήσουμε τα βήματα της απόδειξης του Θεωρήματος 6.7. Επομένως, επιλέγουμε $\chi ={\vartheta }^{n-1}$ στην (6.49) και λαμβάνουμε

(6.52)

Επειδή

$$2({\vartheta }^n,{\vartheta }^{n-1})={\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2+{\parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel }^2-{\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel }^2.$$

η (6.52) γίνεται

$$\frac{1}{2}({\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2-{\parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel }^2-{\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel }^2)+k{\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel }^2\le k\parallel {\omega }^n\parallel \parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel .$$

(6.53)

Στη συνέχεια, επιλέγοντας $\chi ={\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}$ στην (6.49), έχουμε

$${\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel }^2-k({({\vartheta }^{n-1})}^{\prime },{({\vartheta }^n)}^{\prime }-{({\vartheta }^{n-1})}^{\prime })=-k({\omega }^n,{\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}).$$

(6.54)

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy–Schwarz και την (6.41), η (6.54) δίνει

	${\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel }^2$	$\le k\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel {({\vartheta }^n)}^{\prime }-{({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel +k\parallel {\omega }^n\parallel \parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel$
		$\le C_1{\displaystyle \frac{k}{h}}\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel +k\parallel {\omega }^n\parallel \parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel .$

Επομένως, λαμβάνουμε

$$\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel \le C_1\frac{k}{h}\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel +k\parallel {\omega }^n\parallel .$$

Στη συνέχεια, υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της προηγούμενης ανισότητας παίρνουμε

$${\parallel {\vartheta }^n-{\vartheta }^{n-1}\parallel }^2\le C_1^2\frac{k^2}{h^2}{\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel }^2+k^2{\parallel {\omega }^n\parallel }^2+2C_1\frac{k^2}{h}\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel {\omega }^n\parallel .$$

(6.55)

Χρησιμοποιώντας τώρα την (6.55) στην (6.53) παίρνουμε

Στη συνέχεια, λόγω της υπόθεσης $C_1^2{\displaystyle \frac{k}{h^2}}-2\le 0$, παίρνουμε

$${\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2-{\parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel }^2\le k^2{\parallel {\omega }^n\parallel }^2+2C_1\frac{k^2}{h}\parallel {({\vartheta }^{n-1})}^{\prime }\parallel \parallel {\omega }^n\parallel +2k\parallel {\omega }^n\parallel \parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel .$$

(6.56)

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι για κάθε $ϵ>0$ ισχύει η ανισότητα $2ab\le {(ϵa)}^2+(1/ϵ)b^2$ με $a,b\in ℝ$. Έτσι, επειδή $k\le 1$, υπάρχουν σταθερές $c$ και $C$, τέτοιες ώστε από την (6.56) έχουμε

$$\begin{array}{c}\hfill {\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2\le (1+ck){\parallel {\vartheta }^{n-1}\parallel }^2+Ck{\parallel {\omega }^n\parallel }^2.\end{array}$$

(6.57)

Αν θέσουμε $\overline{\omega }={\max }_{0\le n\le M}\parallel {\omega }^n\parallel$, από την (6.57) προκύπτει τώρα

	${\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2$	$\le {(1+ck)}^n{\parallel {\vartheta }^0\parallel }^2+Ck{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}}{(1+ck)}^j{\parallel {\omega }^n\parallel }^2$
		$\le e^{ckn}{\parallel {\vartheta }^0\parallel }^2+Ck{\overline{\omega }}^2{\displaystyle \sum _{j=0}^{M-1}}{e}^{ckj}$
		$\le e^{ckn}{\parallel {\vartheta }^0\parallel }^2+Ck{\overline{\omega }}^2{\displaystyle \frac{e^{ckM}-1}{e^{ck}-1}}$
		$\le e^{cT}{\parallel {\vartheta }^0\parallel }^2+{\displaystyle \frac{C}{c}}{\overline{\omega }}^2.$

Συνεπώς, λόγω της (6.51) έχουμε

$${\parallel {\vartheta }^n\parallel }^2\le C{\parallel {\vartheta }^0\parallel }^2+C{(k+h^2)}^2.$$

Επομένως, λόγω της (6.25) και του γεγονότος ότι $\vartheta (0)=0$, έχουμε ότι ισχύει η επιθυμητή σχέση (6.48). ∎