9.1 Ελλειπτική εξίσωση

Θεωρούμε και πάλι έναν φυσικό αριθμό $N$ και διαμερίζουμε το διάστημα $[0,1]$ σε $N+2$ ισαπέχοντα σημεία , όπου $h=x_{i+1}-x_i$, $i=0,\mathrm{\dots },N$. Επίσης θέτουμε $y^i=x_i$, $i=0,\mathrm{\dots },N+1$ και τότε τα σημεία $(x_i,y^j)$, $i,j=0,\mathrm{\dots },N+1$ δημιουργούν έναν διαμερισμό του $\mathrm{\Omega }$. Τότε, σε κάθε σημείο του διαμερισμού $(x_i,y^j)$, $i,j=1,\mathrm{\dots },N$, θα ισχύει:

$$-(u_{xx}(x_i,y^j)+u_{yy}(x_i,y^j))+q(x_i,y^j)u(x_i,y^j)=f(x_i,y^j),$$

(9.2)

για $i,j=1,\mathrm{\dots },N.$ Θα κατασκευάσουμε όπως και στα προηγούμενα κεφάλαια προσεγγίσεις $U_i^j$ των τιμών $u(x_i,y^j)$, $i,j=0,\mathrm{\dots },N+1$. Λόγω των ομογενών συνοριακών συνθηκών Dirichlet, θέτουμε $U_0^j=U_{N+1}^j=U_i^0=U_i^{N+1}=0$, $i,j=0,\mathrm{\dots },N+1$. Για την κατασκευή των υπολοίπων $U_i^j$ θα προσεγγίσουμε τις $u_{xx}(x_i,y^j)$ και $u_{yy}(x_i,y^j)$ στην (9.2) με την ${\delta }_{h,2}^{c}u(x_i,y^j)$, θεωρώντας την πεπερασμένη διαφορά τη μία φορά ως προς τη μεταβλητή $x$ και την αλλή ως προς τη μεταβλητή $y$, βλ. (2.8). Στο Σχήμα 9.1, βλέπουμε ένα παράδειγμα πλέγματος σημείων, όπου σημειώνουμε τα σημεία των άγνωστων ή γνωστών τιμών της λύσης $u$ του (9.1). Έτσι, αν υποθέσουμε ότι $\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4},\frac{{\partial }^{4}u}{\partial y^4}\in C(\mathrm{\Omega })$, λόγω της (2.11), η (9.2) γίνεται,

(9.3)

όπου

$$|{\eta }_i^j|\le \frac{h^2}{12}(\underset{(x,y)\in \mathrm{\Omega }}{\max }|\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}u(x,y)|+\underset{(x,y)\in \mathrm{\Omega }}{\max }|\frac{{\partial }^{4}u}{\partial y^4}u(x,y)|).$$

(9.4)

Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις $U_i^j$ της $u(x_i,y^j)$, $i,j=1,\mathrm{\dots },N$, οι οποίες θα ικανοποιούν τις ακόλουθες εξισώσεις

(9.5)

Στο Σχήμα 9.2 φαίνεται ένα παράδειγμα πλέγματος όπου σημειώνουμε τις άγνωστες τιμές της προσέγγισης σύμφωνα με τη μέθοδο (9.5).

Επομένως, αν συμβολίσουμε με $U\in {ℝ}^{N^2}$ το διάνυσμα με συνιστώσες $U_1^1,\mathrm{\dots }$, $U_N^1,U_1^2,\mathrm{\dots }$, $U_N^2,\mathrm{\dots }$, $U_1^N,\mathrm{\dots },$ $U_N^N$, $U={(U_1^1,\mathrm{\dots },U_N^1,U_1^2,\mathrm{\dots },U_N^2,\mathrm{\dots },U_1^N,\mathrm{\dots },U_N^N)}^T$, μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις (9.5) ως γραμμικό σύστημα

$$AU=h^{2}F,$$

όπου $F=(f(x_1,y^1),\mathrm{\dots },f(x_N,y^1),f(x_1,y^2),\mathrm{\dots },f(x_N,y^2)$, $\mathrm{\dots }$, $f(x_1,y^N)$, $\mathrm{\dots }$, $f(x_N,y^N)){}^T$.

Για να κατανοήσουμε τη δομή του πίνακα $A$, θεωρούμε την περίπτωση $q=0$ και παρατηρούμε ότι για $i=1,\mathrm{\dots },N$ και $j=1$ οι εξισώσεις (9.5) γίνονται

$$-(U_{i+1}^1-4U_i^1+U_{i-1}^1+U_i^{j+1})=h^{2}f(x_i,y^j),i=1,\mathrm{\dots },N.$$

(9.6)

Επομένως, οι $N$ πρώτες γραμμές του πίνακα Α είναι

\begin{equation*}%\label{A-matrix-partI} \begin{aligned} &\left( \begin{array}{cccccc} 4 & -1 & 0 & &0 &|\\ -1& 4 & -1 & 0 &0 &|\\ 0 &\ddots&\ddots&\ddots&0 &|\\ & &-1 & 4 &-1&|\\ & & & -1 & 4&|\\ \end{array}\right.\!\!\!\!\! &&\begin{array}{cccccc} 1 &0&0 & &0 &|\\ 0 &1&0 & &0 &|\\ 0 & &\ddots& &0 &|\\ 0 & & 0 &1&0 &|\\ 0 & & &0&1 &|\\ \end{array}\!\!\!\!\! &&\left.\begin{array}{ccc} 0& &0\\ 0&\dots &0\\ 0&\dots &0\\ 0& &0\\ 0& &0\\ \end{array} \right)\\ &\hspace{1cm}\underbrace{\hspace{3cm}} &&\hspace{0.1cm}\underbrace{\hspace{3cm}} &&\hspace{0.1cm}\underbrace{\hspace{1.5cm}}\\ &\hspace{2cm}\text{$N$ στήλες} &&\hspace{1cm}\text{$N$ στήλες} &&\text{$N^2-2N$ στήλες} \end{aligned}\end{equation*}

Οπότε, ο πίνακας $A$ έχει τη μορφή

\begin{equation}\label{9.9} A= \left( \begin{array}{rrrrr} B & \mathcal{I} & 0 & &0 \\ \mathcal{I}& B & -1 & 0 &0 \\ 0 &\ddots&\ddots&\ddots&0 \\ & &\mathcal{I} & B &\mathcal{I}\\ & & & \mathcal{I} & B\\ \end{array}\right)\tag{9.9} \end{equation}

ο οποίος δεν έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, είναι όμως αντιστρέψιμος. Αν υποθέσουμε τώρα ότι $q\ne 0$ και ότι $q_{\min }\ge 0$, τότε το γραμμικό σύστημα που προκύπτει από τις (9.5) είναι

$$(A+h^{2}Q)U=h^{2}F,$$

(9.10)

$A,U$ και $F$ όπως παραπάνω και $Q$ ένας διαγώνιος $N^2\times N^2$ πίνακας με στοιχεία στη διαγώνιο $q(x_1,y^1)$, $\mathrm{\dots }$, $q(x_N,y^1)$, $q(x_1,y^2)$, $\mathrm{\dots }$, $q(x_N,y^2)$, $\mathrm{\dots }$, $q(x_1,y^N)$, $\mathrm{\dots }$, $q(x_N,y^N)$. Είναι απλό να δούμε ότι ο πίνακας $A+h^{2}Q$ έχει όμοια μορφή με αυτή της (\ref{9.9}), διότι αλλάζουν μόνο τα διαγώνια στοιχεία και έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, αν $q_{\min }>0$.

Επομένως, μπορούμε να επιλέξουμε μια άμεση μέθοδο, όπως είναι αυτή της απαλοιφής Gauss, για να λύσουμε το γραμμικό σύστημα (9.10), βλ. π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015)). Ο πίνακας του γραμμικού συστήματος (9.10) είναι μεγάλος σε διάσταση και είναι και αραιός, έχει δηλαδή πολλά μηδενικά στοιχεία. Λόγω της (9.6), μπορούμε να δούμε ότι κάθε γραμμή του πίνακα $A$ έχει το πολύ 5 μη-μηδενικά στοιχεία. Στην πράξη, δεν επιλέγουμε τη μέθοδο απαλοιφής Gauss για την αριθμητική επίλυση μεγάλων αραιών γραμμικών συστημάτων, αλλά άλλες μεθόδους όπως είναι οι επαναληπτικές μέθοδοι, Jacobi, Gauss-Seidel, SOR και άλλες, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015), Strikwerda, (2004)).