9 Ελλειπτική εξίσωση: Πεπερασμένες διαφορές 9.3 Άλλες μέθοδοι και προβλήματα Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 9

9.4 Ασκήσεις

9.1.

Θεωρήστε έναν διαμερισμό του $[0,1]$ σε $N+2$ σημεία με βήμα $h=1/(N+1)$ , $x_{i}=ih$ , $i=0,\dots,N+1$ , και άλλον έναν σε $M+2$ σημεία με βήμα $k=1/(M+2)$ , $y^{j}=jk$ , $j=0,\dots,M+1$ . Για τον διαμερισμό του $[0,1]\times[0,1]$ στα σημεία $(x_{i},y^{j})$ , $i=1,\dots,N$ , $j=1,\dots,M$ , διατυπώστε την αριθμητική μέθοδο για την προσέγγιση της λύσης $u$ της (9.1) με τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$

$|\eta_{i}^{j}|\leq C(k^{2}+h^{2}),$

όπου $C$ σταθερά ανεξάρτητη των $k$ , $h$ .
9.2.

Θεωρήστε έναν διαμερισμό του $[0,1]$ σε $N+2$ σημεία με βήμα $h=1/(N+1)$ , $x_{i}=y^{i}=ih$ , $i=0,\dots,N+1$ . Για τον διαμερισμό του $[0,1]\times[0,1]$ στα σημεία $(x_{i},y^{j})$ , $i,j=1,\dots,N$ , διατυπώστε μια αριθμητική μέθοδο για τη προσέγγιση της λύσης $u$ του προβλήματος

$\begin{split}\displaystyle-&\displaystyle(u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y))+au_{x}(x,y)% +bu_{y}(x,y)+cu(x,y)\\ &\displaystyle\quad=f(x,y),\quad(x,y)\in\Omega,\\ &\displaystyle u(x,y)=0,\quad(x,y)\in\partial\Omega,\end{split}$

με $a,b,c\geq 0$ σταθερές, με τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$

$|\eta_{i}^{j}|\leq Ch^{2},$

όπου $C$ σταθερά ανεξάρτητη του $h$ .
9.3.

Θεωρήστε έναν διαμερισμό του $[0,1]$ σε $N+2$ σημεία με βήμα $h=1/(N+1)$ , $x_{i}=y^{i}=ih$ , $i=0,\dots,N+1$ . Για τον διαμερισμό του $[0,1]\times[0,1]$ στα σημεία $(x_{i},y^{j})$ , $i,j=0,\dots,N+1$ , διατυπώστε μια αριθμητική μέθοδο για τη προσέγγιση της λύσης $u$ του προβλήματος

$\begin{split}\displaystyle-(u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y))+u(x,y)&\displaystyle=f(x,% y),\quad(x,y)\in\Omega,\\ \displaystyle u_{x}(0,y)&\displaystyle=u_{x}(1,y)=0,\quad\text{για }y\in(0,1),% \\ \displaystyle u_{y}(x,0)&\displaystyle=u_{y}(0,1)=0,\quad\text{για }x\in(0,1),% \end{split}$

Ποιο είναι το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j};$