Ένα τετράπλευρο p = ABCD μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα που ορίζει δύο συσχετισμένες ανακλάσεις (δες Συσχετισμένες ανκλάσεις και ολισθήσεις ). Πράγματι, η απεικόνιση ορίζεται από τις δύο ευθείες: άξονα της ανάκλασης την AB και συζυγή κατεύθυνση την BC.
Η αντίστοιχη συσχετισμένη ανάκλαση fAB,BC ορίζεται μέσω της επόμενης διαδικασίας:
Γιά κάθε σημείο X όρισε το X'=fAB,BC έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα XX' να είναι παράλληλο προς την συζυγή κατεύθυνση BC και το μέσον του να είναι επί της ευθείας AB.
Μιά κορυφή του τετραπλεύρου, η A λ.χ., ορίζει δύο τέτοιες ανακλάσεις fAB,BC και fAD,DC.
Η κορυφή A είναι τομή των δύο αξόνων των ανακλάσεων και μοναδικό σταθερό σημείο της συσχετισμένης απεικόνισης που ορίζεται ως σύνθεση fA = fAD,DCfAB,BC των δύο ανακλάσεων.
Με τις προϋποθέσεις της προηγουμένης παραγράφου ορίζεται οικογένεια ομοιοθέτων κωνικών αναλλοιώτων ως προς τις συσχετισμένες απεικονίσεις fAD,DC, fAB,BC και επομένως και την fA = fAD,DCfAB,BC .
[1] Γιά κάθε κωνική (c) αυτής της οικογένειας οι ευθείες {(AB,BC), (AD,DC)} ορίζουν ζεύγη συζυγών κατευθύνσεων.
[2] Κάθε κωνική (c) της οικογένειας είναι αναλλοίωτος ως προς τις συσχετισμένες απεικονίσεις fAB,BC, fAD,DC και fA.
[3] Σταθεροποιώντας μιά κωνική (c) της οικογένειας και παίρνοντας μεταβλητό σημείο P επ' αυτή, η ευθεία PP', όπου P'=fA(P) περιβάλλει μιά κωνική (c') της ιδίας οικογένειας.
Γιά τον ορισμό των κωνικών θεώρησε σημείο E επί της AB και την εικόνα του F ως προς fA. Εάν υπάρχει κωνική (c) όπως στο ισχυρισμό παραπάνω διερχόμενη από το E, τότε η EF πρέπει να είναι χορδή της και η AD πρέπει να είναι συζυγής κατεύθυνση της EF. Επίσης η εφαπτόμενή της EG στο E πρέπει να είναι παράλληλη της BC.
Αυτές οι ιδιότητες ωστόσο καθορίζουν μονοσήμαντα την (c). Πράγματι, πάρε το συμμετρικό H του E ως προς A και όρισε την κωνική (c) ως το μέλος της δισεφαπτόμενης οικογένειας κωνικών, που είναι εφαπτόμενες των ευθειών {GE, GF} στα {E,F} αντιστοίχως και (το μέλος) περνά από το σημείο H. Η κωνική που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο έχει τις ιδιότητες που αναφέρονται στα [1] και [2].
Γιά την απόδειξη του [3] δείξε πρώτα ότι οι ευθείες PP' είναι εφαπτόμενες μελών της οικογένειας στο μέσον τους. Προς τούτο θεώρησε την ευθεία PP' με πέρατα στο μέλος c1 της οικογένειας κωνικών (P'=fA(P)). Υπάρχει άλλο μέλος c2 της οικογένειας εφαπτόμενο της PP' στο σημείο Q. Τότε η AQ είναι συζυγής της PP' ως προς την c2 και λόγω της ομοιοθεσίας και ως προς την c1. Άρα το Q είναι το μέσον της PP'.
Γιά να δει κανείς ότι η c2 παραμένει η ίδια γιά όλες τις θέσεις του P επί της c1 μπορεί να υπολογίσει τον λόγο AQ/AS2 και να δείξει ότι είναι σταθερός κατά μήκος της c1. Εδώ τα {S1, S2} είναι τα δύο σημεία τομής της AQ με την κωνική c1.
Εναλλακτικά μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο του επιπέδου που ορίζεται από τις εφαπτόμενες των μελών της οικογένειας κωνικών. Επίσης να χρησιμοποιήσει ότι η κωνική c2 που λαμβάνεται ως εικόνα της c1 μέσω της συσχετισμένης απεικόνισης g(x) = (1/2)(I+fA)(x) είναι σε κάθε σημείο της εφαπτόμενη του διανυσματικού πεδίου, άρα συνολικά συμπίπτει με ένα μέλος της οικογένειας κωνικών.
[1] Το 2.3 παραπάνω είναι ειδική περίπτωση μιάς γενικώτερης ιδιότητας που ισχύει γιά προβολικότητες f κωνικών (δες Κωνικών ομογραφίες ), σύμφωνα με την οποία γιά κάθε σημείο P της κωνικής η ευθεία PP', όπου P'=f(P), εφάπτεται άλλης κωνικής (Berger II, p.214).
[2] Γινόμενα δύο συσχετισμένων ανακλάσεων λέγονται ισο-συσχετισμένες απεικονίσεις και αποτελούν το σύνολο των συσχετισμένων απεικονίσεων που διατηρούν το εμβαδόν πολυγώνων ή ισοδύναμα έχουν ορίζουσα (ως προς την παράστασή τους σε συσχετισμένη βάση) ίση με 1 (Coxeter, p. 199).
[3] Οι αναλλοίωτες κωνικές που προκύπτουν από τετράπλευρο, όπως παραπάνω, είναι εκφυλισμένες (δύο παράλληλες ευθείες) όταν αυτό είναι τραπέζιο. Όταν δεν είναι εκφυλισμένες είναι ελλείψεις ή υπερβολές. Έχει ενδιαφέρον να βρεθεί πότε είναι ελλείψεις και πότε υπερβολές.
[4] Κάθε ευθεία L του επιπέδου είναι εφαπτόμενη μιάς κωνικής c της οικογένειας. Λόγω του αναλλοιώτου της οικογένειας η εικόνα της ευθείας fA(L)=L' θα είναι επίσης εφαπτόμενη της c. Εφαρμόζοντας την fA στην L' και τις διαδοχικές εικόνες της παίρνουμε ευθείες εφαπτόμενες της c που σχηματίζουν πολύγωνο με πλευρές εφαπτόμενες της c. Έχει ενδιαφέρον η μελέτη συνθηκών που εξασφαλίζουν την κλειστότητα ή περιοδικότητα αυτού του πολυγώνου. Δηλαδή, πότε υπάρχει ακέραιος n έτσι ώστε (fA)n(L) = L.
[5] Οι απεικονίσεις fAD,DC, fAB,BC, fA και η οικογένεια των αναλλοιώτων ως προς αυτές κωνικών εξαρτώνται μόνο από τις κατευθύνσεις των πλευρών του τετραπλεύρου ABCD και όχι τα μήκη των πλευρών του. Επομένως, σταθεροποιώντας το Α και τις κατευθύνσεις των {AB, AD} υπάρχει διπλή απειρία τετραπλεύρων που με την παραπάνω διαδικασία δίνουν την ίδια οικογένεια κωνικών.
Μεταξύ όλων των τετραπλεύρων υπάρχει ένα (ως προς ομοιοθεσίες με κέντρο το Α) ειδικό AEC'D' που χαρακτηρίζεται από το ότι οι πλευρές του {D'C', EC'} είναι εφαπτόμενες κωνικής της αναλλοίωτης οικογένειας. Τότε η διαγώνιος AC' διέρχεται από το μέσον της άλλης διαγωνίου ED' και συνεπώς συμπίπτει με την ευθεία Newton του AED'C', άρα διέρχεται και από το μέσον της τρίτης διαγωνίου GG' αυτού του τετραπλεύρου. Τότε οι {D'E, GG'} είναι παράλληλες και το EG'GD' είναι τραπέζιο.
[6] To επόμενο σχήμα δείχνει την περίπτωση που το Α πάει στο άπειρο και οι αντίστοιχες συσχετισμένες ανακλάσεις fAB,BC, fAD,DC έχουν παράλληλους άξονες. Οι αναλλοίωτες κωνικές σε αυτήν την περίπτωση είναι παραβολές. Αυτές ορίζονται με τρόπο ανάλογο αυτού που εξετάσθηκε παραπάνω:
Γιά σημείο Ε κινούμενο επί της ΑΒ, η EG είναι παράλληλος της BC. Το F είναι το fA(Ε) και η παραβολή είναι εφαπτόμενη των EG και GF στα {E,F} αντιστοίχως. Διέρχεται επίσης από το μέσον Μ της E'F', όπου {E',F'} τα μέσα των {GE, GF}. Προφανώς σε αυτήν την περίπτωση οι αναλλοίωτες κωνικές έχουν κοινό άξονα συμμετρίας, παράλληλο των ευθειών ΑΒ, ΑD και προκύπτουν η μία από την άλλη μέσω παράλληλης μεταφοράς ως προς διάνυσμα παράλληλο των δύο αυτών ευθειών.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Μιά άλλη άποψη του τετραπλεύρου ![[0_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_0_0.png)
![[0_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_0_1.png)
![[0_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_0_2.png)
![[1_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_1_0.png)
![[1_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_1_1.png)
![[1_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_1_2.png)
![[2_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_2_0.png)
![[2_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_2_1.png)
![[2_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_0_2_2.png)
![[0_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_1_0_0.png)
![[0_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_2_0_0.png)
![[1_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_2_1_0.png)
![[0_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_0_0.png)
![[0_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_0_1.png)
![[0_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_0_2.png)
![[0_3]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_0_3.png)
![[1_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_1_0.png)
![[1_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_1_1.png)
![[1_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_1_2.png)
![[1_3]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_1_3.png)
![[2_0]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_2_0.png)
![[2_1]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_2_1.png)
![[2_2]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_2_2.png)
![[2_3]](AffineReflexionsProduct_files/AffineReflexionsProduct_3_2_3.png)