Affinity2

1. Συσχετισμένη ομοιανάκλαση

Συσχετισμένη ομοιανάκλαση λέγεται μία συσχετισμένη απεικόνιση F που διατηρεί σταθερά τα σημεία μίας ευθείας (e) ακριβώς και ταυτόχρονα υπάρχει σημείο C εκτός της (e), έτσι ώστε η ευθεία CC' να τέμνει την (e) σε σημείο C₀.

To ακριβώς τίθεται γιά την διαφοροποίηση της απεικόνισης από την ταυτοτική, που αφήνει όλες τις ευθείες σταθερές.

Λήμμα-1 Γιά μιά τέτοια απεικόνιση ορίζεται η σταθερά k = C₀C'/C₀C και γιά κάθε σημείο D μη-κείμενο επί της ευθείας (e) η εικόνα D' του D ορίζει ευθεία DD' παράλληλη της CC' και η τομή αυτής D₀ με την (e) ικανοποιεί επίσης D₀D'/D₀D = k.

Αυτό προκύπτει από δύο απλές παρατηρήσεις: (α) Η ευθεία CC' παραμένει αναλλοίωτος κατά την F (απεικονίζεται στον εαυτό της). Προφανώς, διότι τα σημεία {C,C₀} αυτής της ευθείας απεικονίζονται στα {C',C₀} σημεία της ίδιας ευθείας.
(β) Κάθε ευθεία DD' παράλληλη προς την CC' απεικονίζεται στον εαυτό της. Πράγματι, εάν θεωρήσουμε το D₀ σημείο τομής της (e) με την DD', τότε η εικόνα της DD' θα είναι παράλληλη προς την εικόνα της CC' (που είναι η ίδια η CC') και θα διέρχεται από το σταθερό σημείο D₀ της F, άρα θα συμπίπτει με την DD'.
Παίρνοντας τώρα ένα σταθερό σημείο A και φέρνοντας την ΑC, βλέπουμε ότι κάθε άλλο σημείο D της AC θα απεικονίζεται σε σημείο D' επί της AC' και θα ισχύει η D₀D'/D₀D = C₀C'/C₀C = k.
Τους λόγους τους θεωρούμε προσανατολισμένους και συνεπώς το k θα είναι αρνητικό όταν τα C' και C είναι σε διαφορετική πλευρά της (e).
H ευθεία (e) λέγεται άξονας της ομοιανάκλασης. Η κατεύθυνση της CC' λέγεται συζυγής κατεύθυνση της ομοιανάκλασης. Η σταθερά k λέγεται λόγος της ομοιανάκλασης.

2. Συσχετισμένη ολίσθηση

Συσχετισμένη ολίσθηση λέγεται μία συσχετισμένη απεικόνιση F που διατηρεί σταθερά τα σημεία μίας ευθείας (e) ακριβώς και ταυτόχρονα υπάρχει σημείο C εκτός της (e), έτσι ώστε η ευθεία CC' να είναι παράλληλος της (e).

Λήμμα-2 Γιά κάθε συσχετισμένη ολίσθηση μία ευθεία (d) παράλληλη προς την (e) απεικονίζεται στον εαυτό της μέσω μίας μεταφοράς v της οποίας το μήκος είναι ανάλογο της (προσανατολισμένης) απόστασης της (d) από την (e) .

Αυτό ισχύει κατ' αρχήν γιά την ευθεία CC' του ορισμού. Η ευθεία αυτή είναι παράλληλη της (e) άρα και η εικόνα της που περιέχει το C' θα είναι επίσης παράλληλη της εικόνας της (e) που είναι η (e). Συνεπώς η εικόνα της CC' θα ταυτίζεται με την CC'.
Έστω το διάνυσμα v = CC'. Γιά τυχόν A επί της (e) η ευθεία AC θα απεικονίζεται στην AC'. Επίσης γιά τυχόν B επί της CC', φέρω παράλληλο της AC από το Β τέμνουσα την (e) στο Α₀. Η A₀B είναι παράλληλος της AC, άρα η εικόνα της A₀B' θα είναι παράλληλος προς την AC. Προκύπτουν τα ίσα τρίγωνα ACC' και A₀BB' από όπου προκύπτει και ότι B' = B + v.
Γιά κάθε άλλο σημείο D της A₀B η εικόνα D' θα ορίζει επί της A₀B' τον ίδιο λόγο που ορίζει και το D επί της A₀B, άρα η DD' θα είναι παράλληλη προς την (e) και το διάνυσμα DD' = kv, όπου k = A₀D/A₀B.
Τους λόγους τους θεωρούμε προσανατολισμένους και συνεπώς το k θα είναι αρνητικό όταν τα D και C είναι σε διαφορετική πλευρά της (e).
Η ευθεία (e) λέγεται άξονας της συσχετισμένης ολίσθησης.

3. Συσχετισμένη ανάκλαση

[1] Οι μεταφορές μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικεύσεις συσχετισμένων ολισθήσεων, κατά τις οποίες η ευθεία των σταθερών σημείων ταυτίζεται με την ευθεία στο άπειρο.
[3] Οι δύο κατηγορίες συσχετισμένων απεικονίσεων: ομοιανακλάσεων και ολισθήσεων συμπεριλαμβάνουν όλες τις συσχετισμένες απεικονίσεις που δίχως να είναι ταυτοτικές αφήνουν μία ευθεία σταθερά κατά σημείο.
[4] Συσχετισμένες ομοιανακλάσεις γιά τις οποίες η σταθερά k = -1 είναι ενελίξεις και λέγονται συσχετισμένες ανακλάσεις. Όπως και οι κατοπτρισμοί, η απεικόνιση ταυτίζεται τότε με την αντίστροφή της.
[5] Οι συσχετισμένες ανακλάσεις γενικεύουν τις συνήθεις ευκλείδειες ανακλάσεις ως προς ευθεία.

4. Κλάσεις συζυγίας και προσανατολισμοί

[1] Δύο ομοιανακλάσεις F₁, F₂ με τον ίδιο λόγο k είναι συζυγείς. Δηλαδή, γιά δύο τέτοιες ομοιανακλάσεις υπάρχει συσχετισμένη απεικόνιση G έτσι ώστε να ισχύει F₂ = G^-1F₁G. Αυτό φαίνεται αμέσως διαλέγοντας μία βάση ως προς την οποία η ομοιανάκλαση παρίσταται με πίνακα της μορφής

Συνέπεια αυτού είναι ότι ως προς οποιοδήποτε σύστημα συσχετισμένων συντεταγμένων ο πίνακας που παριστάνει μιά ομοιανάκλαση έχει ορίζουσα ακριβώς k, τον λόγο της ομοιανάκλασης.
Ειδικά, οι συσχετισμένες ανακλάσεις, γιά τις οποίες k = -1, είναι συζυγείς προς ευκλείδειες ανακλάσεις και η αντίστοιχη ορίζουσα είναι -1.
Κάθε ομοιανάκλαση με αρνητικό λόγο k αντιστρέφει τον προσανατολισμό κλειστών πολυγώνων όπως ακριβώς και η ευκλείδεια ανάκλαση.
[2] Δύο συσχετισμένες ολισθήσεις F₁, F₂ είναι πάντοτε συζυγείς. Δηλαδή, γιά δύο τέτοιες απεικονίσεις υπάρχει συσχετισμένη απεικόνιση G έτσι ώστε να ισχύει F₂ = G^-1F₁G. Αυτό φαίνεται αμέσως διαλέγοντας μία βάση ως προς την οποία η ολίσθηση παρίσταται με πίνακα της μορφής

Οι συσχετισμένες ολισθήσεις διατηρούν τον προσανατολισμό κλειστών πολυγώνων και έχουν ορίζουσα ως προς οποιοδήποτε σύστημα συσχετισμένων συντεταγμένων ίση με 1.

5. Ομοιανάκλαση και παράλληλες ευθείες

Μιά συσχετισμένη ομοιανάκλαση χαρακτηρίζεται από το ότι υπάρχουν δύο ακριβώς οικογένειες παραλλήλων ευθειών (Ι) και (ΙΙ) με τις επόμενες ιδιότητες:
(α) Κάθε ευθεία της οικογένειας (Ι) απεικονίζεται στον εαυτό της.
(β) Κάθε ευθεία της οικογένειας (ΙΙ) απεικονίζεται σε μιάν άλλη ευθεία επίσης της οικογένειας (ΙΙ).

Προφανώς μιά ομοιανάκλαση διατηρεί αναλλοίωτες τις ευθείες {f_i} της οικογένειας (Ι) που είναι παράλληλες προς την συζυγή κατεύθυνση της ομοιανάκλασης.
Eπίσης τις ευθείες {e_i} της οικογένειας (ΙΙ) που είναι παράλληλες προς τον άξονα της ομοιανάκλασης τις απεικονίζει σε άλλες ευθείες επίσης παράλληλες προς τον άξονά της.
Αντίστροφα, έστω ότι η συσχετισμένη απεικόνιση F έχει τις δύο ιδιότητες ως προς τις δύο οικογένειες παραλλήλων ευθειών Ι={f_i} και II={e_i}.
Παίρνοντας ως βάση συσχετισμένων συντεταγμένων τα διανύσματα {u,v} που ορίζονται από τις πλευρές παραλληλογράμμου με πλευρές επί των ευθειών {f₁, e₁} αντίστοιχα, η F περιγράφεται από εξισώσεις της μορφής:

Το a πρέπει να είναι διάφορο του 1 διότι αλλοιώς η F θα ήταν μεταφορά και κάθε οικογένεια παραλλήλων διαφορετική από την (Ι) θα ικανοποιούσε την συνθήκη ορισμού της (ΙΙ), ενώ υποθέτουμε ότι υπάρχει μία ακριβώς με αυτήν την ιδιότητα. Υπάρχει συνεπώς σταθερό σημείο της F επί της f₁ που προσδιορίζεται από την λύση της:

Παίρνοντας ως αρχή Α των συντεταγμένων το σημείο αυτό έχουμε την περιγραφή της F μέσω εξισώσεων της μορφής:

7. Ολίσθηση και παράλληλες ευθείες

Μιά συσχετισμένη ολίσθηση χαρακτηρίζεται από το ότι υπάρχει μία ακριβώς οικογένεια παραλλήλων ευθειών (Ι) και καμία (ΙΙ) με τις επόμενες ιδιότητες:
(α) Κάθε ευθεία της οικογένειας (Ι) απεικονίζεται στον εαυτό της.
(β) Κάθε ευθεία της οικογένειας (ΙΙ) απεικονίζεται σε μιάν άλλη ευθεία επίσης της οικογένειας (ΙΙ).

Προφανώς μία ολίσθηση F έχει αυτές τις ιδιότητες. Γιά το αντίστροφο έστω F συσχετισμένη απεικόνιση και Ι = {f_i} η οικογένεια των αναλλοιώτων παραλλήλων ευθειών και (e) μία ευθεία που δεν ανήκει στην Ι. Τότε η e' = F(e) δεν μπορεί να είναι παράλληλη της e. Διότι αλλοιώς όλες οι παράλληλες της (e) θα είχαν εικόνες επίσης παράλληλες της (e) και θα υπήρχε οικογένεια (ΙΙ), πράγμα που αποκλείεται εξ' υποθέσεως.
Έστω λοιπόν Α το σημείο τομής των {e, e'=F(e)}. H ευθεία f₁ της οικογένειας παραλλήλων Ι που διέρχεται από το Α παραμένει κατά σημείο σταθερά ως προς την F.

Κατ' αρχήν η ευθεία CC', όπου C'=F(C), είναι εξ' υποθέσεως παράλληλη της f₁. Αυτό συνεπάγεται ότι το Α είναι σταθερό σημείο της F. Έστω τώρα ότι υπάρχει ευθεία h παράλληλη της e, συνεπώς με εικόνα h'=F(h) παράλληλη της e' και σημείο τομής Β εκτός της f₁. Το Β είναι σταθερό σημείο της F αφού το Β'=F(B) θα έχει ΒΒ' παράλληλη της f₁. Τότε η ευθεία ΑΒ έχει δύο σταθερά σημεία της F άρα όλα τα σημεία της παραμένουν σταθερά κατά την F και συνεπώς οι παράλληλες της ΑΒ θα ορίζουν οικογένεια (ΙΙ), πράγμα που αποκλείστηκε. Άρα το Β είναι επί της f₁ και η τελευταία αποτελείται απόκλειστικά από σταθερά σημεία της F. O ισχυρισμός προκύπτει τότε από τον ίδιο τον ορισμό της συσχετισμένης ολίσθησης (παράγραφος - 2).

Δείτε ακόμη

Συσχετισμένοι μετασχηματισμοί
Συσχετισμένων ανακλάσεων γινόμενο

Βιβλιογραφία

Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed.. New York, John Wiley, 1972, p. 199.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/