[alogo] 1. Συσχετισμένες απεικονίσεις (affinities)

Συσχετισμένες απεικονίσεις είναι αντιστρέψιμοι μετασχηματισμοί του επιπέδου στον εαυτό του, οι οποίοι σε ένα γενικό σύστημα συντεταγμένων περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής:

[0_0] [0_1]

Συσχετισμένες απεικονίσεις ορίζονται προκαθορίζοντας τις τιμές {Q1, Q2, Q3} σε τρία αυθαίρετα σημεία του επιπέδου {P1, P2, P3}, όπου εννοείται ότι και οι δύο τριάδες αποτελούνται από σημεία σε γενική θέση (μη συνευθειακά).

[0_0] [0_1] [0_2]

[alogo] 2. Βασικές ιδιότητες

Το σύνολο όλων των συσχετισμένων απεικονίσεων του επιπέδου συγκροτεί ομάδα G, η οποία, μεταξύ άλλων περιέχει και τις ισομετρίες του επιπέδου (στροφές, ανακλάσεις, μεταφορές) καθώς και τις ομοιότητες. Οι κύριες ιδιότητες των συσχετισμένων απεικονίσεων είναι:
[1] Διατηρούν τις ευθείες και τους λόγους επί αυτών.
[2] Διατηρούν την παραλληλία ευθειών.
[3] Διατηρούν ισομετρίες μέσω μεταφορών.
[4] Πολλαπλασιάζουν εμβαδά (προσανατολισμένα) με την ορίζουσα D.


[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]

[alogo] 3. Πρόσθετες ιδιότητες

Συσχετισμένες απεικονίσεις μετασχηματίζουν κωνικές σε κωνικές του ιδίου είδους (ελλείψεις σε ελλείψεις, παραβολές σε παραβολές κτλ. ). Επιπλέον διατηρούν την συζυγία διαμέτρων. Ειδικά απεικονίζουν ορθογώνιες διαμέτρους κύκλων σε συζυγείς διαμέτρους ελλείψεων.
Δύο καμπύλες λέγονται συσχετισμένα ισοδύναμες εάν η μία προκύπτει από την άλλη μέσω μιάς συσχετισμένης απεικόνισης.
[1] Όλες οι ελλείψεις είναι συσχετισμένα ισοδύναμες πρός τον κύκλο x2+y2 = 1.
[2] Όλες οι υπερβολές είναι συσχετισμένα ισοδύναμες προς την υπερβολή xy = 1.
[3] Όλες οι παραβολές είναι συσχετισμένα ισοδύναμες προς την παραβολή y = x2.

[0_0] [0_1]

[alogo] 4. Ταξινόμηση ως προς συσχετισμένη ισοδυναμία

[1] Η ταξινόμηση των πραγματικών αλγεβρικών καμπυλών βαθμού 3 (κυβικών), ως προς συσχετισμένη ισοδυναμία, ξεκινά από τους Newton και Pluecker και φτάνει μέχρι την συμπλήρωσή της από τον M. Nadjafikah (arXiv.math. DG/0507383 v1. 19 Jul 2005). Οι καμπύλες ταξινομούνται σε επτά κλάσεις.
[2] Η ταξινόμηση καμπυλών υψηλοτέρων βαθμών δεν έχει γίνει έως τώρα.
[3] Ένα ειδικό πρόβλημα στην ταξινόμηση είναι ο προσδιορισμός της υποομάδος ισοτροπίας HJ, της G, γιά τις διάφορες κλάσεις J ισοδυνάμων καμπυλών. Η υποομάδα HJ αποτελείται από τους συσχετισμένους μετασχηματισμούς που αφήνουν αναλλοίωτο ένα τυπικό μέλος της κλάσης J.
[4] Στην περίπτωση μη-εκφυλισμένων κωνικών όλες οι υποομάδες HJ είναι ισόμορφες προς την ομάδα που παράγεται από τις στροφές και ανακλάσεις {Wx}, που αφήνουν σταθερό το σημείο x. Αυτό φαίνεται άμεσα γιά τις ελλείψεις, αφού όλες είναι συσχετισμένα ισοδύναμες προς τον κύκλο. Οι άλλες περιπτώσεις μπορούν να αποδειχθούν παρεμβάλοντας μιά προβολικότητα που απεικονίζει τον κύκλο στην κωνική.


[0_0] [0_1]

[alogo] 5. Συσχετισμένες ισοδυναμίες έλλειψης στον εαυτό της

Στην περίπτωση της έλλειψης (c), οι συσχετισμένες απεικονίσεις που την διατηρούν είναι οι γνωστές συζυγίες ως προς διάμετρο και οι συζυγίες κατά μήκος εφαπτομένων σε ομοθετικές ελλείψεις.
Η προηγούμενη εικόνα περιγράφει την δεύτερη κατηγορίας μιάς συσχετισμένης ισοδυναμίας F(A --> B) που αφήνει αναλλοίωτη μιά έλλειψη. Η ισοδυναμία περιγράφεται μέσω χορδών AB εφαπτομένων (στο μέσον τους) σε μία έλλειψη b' ομοθετική της a' ως προς το κέντρο της τελευταίας. Και οι δύο a', b' είναι εικόνες συγκεντρικών κύκλων μέσω μιάς συσχετισμένης απεικόνισης G. Η ισοδυναμία F αντιστοιχεί, μέσω αυτής της απεικόνισης G (συζυγία μέσω της G: F = G*R*G-1), στις συνήθεις περιστροφές (R) του κύκλου περί το κέντρο του.
Μιά συνέπεια αυτού είναι ότι τα τμήματα των δύο τομέων της έλλειψης που ορίζονται μέσω της χορδής ΑΒ έχουν σταθερό εμβαδόν, καθώς η χορδή ΑΒ παίρνει τις διάφορες θέσεις των εφαπτομένων της (b').
Δείτε το αντίστοιχο θέμα γιά παραβολές στο Συμμετρίες παραβολής .

Δείτε ακόμη

Συσχετισμένες ανακλάσεις και ολισθήσεις
Συσχετισμένων ανακλάσεων γινόμενο
Συμμετρίες παραβολής
Παραβολές παραγόμενες από συσχετισμένες απεικονίσεις
Μετασχηματισμός συντεταγμένων

Βιβλιογραφία

Audin, Michele Geometry Berlin, Springer, 2002
Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed.. New York, John Wiley, 1972, p. 199.
M. Nadjafikah Classification of cubics up to affine transformations (arXiv.math. DG/0507383 v1. 19 Jul 2005).

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©