Μελετώ εδώ μερικές ιδιότητες της παραβολής που περνά από τις κορυφές τραπεζίου RSS''R''. Από την ανάλυση που γίνεται παρακάτω προκύπτει η κατασκευή της μοναδικής παραβολής περιγεγραμμένης του τραπεζίου:
1) Προσδιόρισε το Z που είναι το αρμονικό συζυγές του P' ως προς τα {R0,S0}.
2) Προσδιόρισε το μέσον T του P'Z και το συμμετρικό S' του S0 ως προς το T.
3) Κατασκεύασε την παραβολή διά των {S,S''} και εφαπτόμενη σε αυτά τα σημεία των ευθειών {S'S, S'S''} αντίστοιχα.
[1] Δοθείσης της (c) παραβολής και δύο παραλλήλων χορδών της {S,S'',R,R''}, γνωρίζουμε από στοιχειώδεις ιδιότητες περί παραβολών ότι οι εφαπτόμενές της {SS', S''S'} στα {S,S''} τέμνονται σε σημείο S' επί της ευθείας R0S0 που ενώνει τα μέσα των παραλλήλων χορδών. Παρόμοια οι εφαπτόμενες στα {R,R''} τέμνονται στο σημείο R' της ίδιας ευθείας. Από στοιχειώδεις ιδιότητες των τραπεζίων γνωρίζουμε επίσης ότι οι ευθείες {RS, R''S''} τέμνονται σε σημείο Z επίσης επί της R0S0.
[2] Έστω ότι {V,V'} είναι οι τομές των ευθειών (RR',SS') και (R'R'',S'S''}. Η ευθεία VV' είναι η πολική της Z.
Πράγματι, το σημείο Z είναι επί της πολικής του σημείου V αρα, λόγω της δυϊκότητας πόλου-πολικής, το V είναι επίσης επί της πολικής του Z. Ανάλογα και το V' είναι επί της πολικής του Z, άρα η VV' είναι η πολική του Ζ.
[3] Έστω P' το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου RSS''R''. Τό P' ευρίσκεται επί της R0S0 και είναι αρμονικό συζυγές του Z ως προς τα {R',S'}.
Ο πρώτος ισχυρισμός είναι γενική ιδιότητα των τραπεζίων. Ο δεύτερος προκύπτει προβάλλοντας τον διπλό λόγο (R,S,P,Z)=-1 από το V επί της ευθείας R0S0. Ο λόγος προβάλλεται πράγματι στον λόγο (R',S',P',Z), που ισούται επίσης με -1.
[4] Έστω ότι τα σημεία {U, U'} είναι οι τομές των ζευγών ευθειών (RR',S'S'') και (SS',R'R'') αντίστοιχα. Το σημείο Z είναι η τομή των διαγωνίων του τετραπλεύρου S'UR'U'. Η διαγώνιος UU' είναι παράλληλος της VV'.
Ο πρώτος ισχυρισμός προκύπτει από την γνωστή ιδιότητα των τετραπλεύρων και την προηγούμενη παράγραφο. Ο ίδιος λόγος συνεπάγεται και τον δεύτερο ισχυρισμό. Πράγματι οι VV' και UU' τέμνονται σε σημείο W έτσι ώστε (V,V',P',W)=(U,U',Z,W) = -1. Επειδή το P' είναι το μέσον της VV', το W είναι στο άπειρο, άρα οι VV', UU' είναι παράλληλοι.
[5] Όρισε την προβολικότητα F απαιτώντας {F(S) = S', F(S') = S'', F(R) = R', F(R') = R''}. Το σημείο Z είναι σταθερό σημείο της F, η ευθεία PP' είναι αναλλοίωτη ως προς την F και το V απεικονίζεται στο σημείο V'.
Πράγματι, από στοιχειώδεις ιδιότητες της παραβολής, το σημείο Z είναι τομή των ευθειών {RS, R'S'} που απεικονίζονται στις {R'S', R''S''} άρα ορίζουν το ίδιο σημείο.
Γιά την απόδειξη του δεύτερου ισχυρισμού σημείωσε ότι επειδή η ευθεία RS απεικονίζεται στην ευθεία R'S' και οι προβολικότητες διατηρούν τον διπλό λόγο η F(P) πρέπει να πληροί (R,S,P,Z) = (R',S',F(P),Z) = -1, η οποία κατά το [4] ταυτίζει το F(P) με το P'.
Ανάλογα δείχνει κανείς ότι και F(P') = P'' και συνεπώς η ευθεία PP' είναι αναλοίωτη ως προς F.
Ο τελευταίος ισχυρισμός είναι συνέπεια του ορισμού.
[6] Έστω T το σημείο της παραβολής με εφαπτόμενη παράλληλη προς τις {SS'', RR''}. Τότε R0S0 = S'R', R0P' = R'Z και S0P' = S'Z.
Αυτό είναι τετριμμένη συνέπεια της ιδιότητας της παραβολής κατά την οποία το Τ είναι το μέσον της R0R' καθώς επίσης και το μέσον της S0S', άρα R0S0 = S'R'. Το αποτέλεσμα απορρέει από το [4] λαμβάνοντας υπόψη ότι P'R0/P'S0 = ZR0/ZS0 και ZS'/ZR' = P'S'/P'R'.
[7] Η προβολικότητα F δεν είναι συσχετισμένος μετασχηματισμός (δεν αφήνει αναλοίωτη την ευθεία στο άπειρο).
Πράγματι, το σημείο I που ορίζεται ως εικόνα του σημείου στο άπειρο που παριστούν οι παράλληλες ευθείες VV' και UU' είναι ένα σημείο της VV', λόγω του αναλοιώτου της VV', διαφορετικό από το σημείο στο άπειρο. Μάλιστα το σημείο αυτό μπορεί να προσδιορισθεί βάσει του αναλοιώτου του διπλού λόγου. Πράγματι, ο λόγος PP'/PV συμπίπτει με τον διπλό λόγο (P',V,P,inf), όπου το (inf) παριστάνει το σημείο στο άπειρο της ευθείας VV'. Από την ιδιότητα αναλοιώτου του διπλού λόγου από την F έχουμε επίσης ότι (P'',V',P',I) = PP'/PV, άρα (P'P''/P'V'):(IP''/IV') = PP'/PV. Από την P'P''=PP' έπεται IP''/IV' = PV/P'V' = - P''V'/P'V'. Άρα το I είναι ένα σημείο εντός της V'P'' που προσδιορίζεται από τον πεπερασμένο λόγο των αποστάσεών του από τα {V',P''}.
[8] Ανάλογα προς την F μπορεί κανείς να ορίσει και την άλλη προβολικότητα F' προδιαγράφοντας τις τιμές {F'(S) = S', F'(S') = S'', F'(R'') = R', F(R') = R}. Στην περίπτωση αυτή δείχνει κανείς ανάλογα ότι το σημείο P' είναι σταθερό σημείο της F' και η ευθεία UU' είναι αναλοίωτη ως προς την F'. Και σ' αυτήν την περίπτωση η F' δεν είναι συσχετισμένος μετασχηματισμός.
Είναι γνωστό (δες Παραβολές περιγεγραμμένες περί τρίγωνο ) ότι δοθέντων τεσσάρων σημείων {A,B,C,D} υπάρχουν εν γένει ή δύο παραβολές διερχόμενες από αυτά ή καμμία. Που είναι στην παρούσα περίπτωση η δεύτερη παραβολή;
Η απάντηση είναι απλή. Η δεύτερη παραβολή παρίσταται με την εκφυλισμένη παραβολή που παριστάνει η ένωση των δύο ευθειών-φορέων των παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Παραβολή περιγεγραμμένη τραπεζίου ![[0_0]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_0_0.png)
![[0_1]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_0_1.png)
![[0_2]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_0_2.png)
![[0_3]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_0_3.png)
![[1_0]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_1_0.png)
![[1_1]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_1_1.png)
![[1_2]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_1_2.png)
![[1_3]](ParabolaCircumscribingTrapezium_files/ParabolaCircumscribingTrapezium_0_1_3.png)