Symmedian

1. Συμμετροδιάμεσος ευθεία τριγώνου (II)

Η συμμετροδιάμεσος ευθεία από την κορυφή C τριγώνου ABC, μπορεί να ορισθεί ως η διάμεσος s_c = [CF] του τριγώνου CDE, όπου {D, E} είναι οι πόδες των υψών από τις κορυφές {A, B} αντίστοιχα.

2. Ιδιότητες συμμετροδιαμέσου

[1] Τα τρίγωνα ABC και EDC είναι όμοια, άρα τα τρίγωνα BGC και DFC είναι επίσης όμοια, άρα η γωνία(DCF) = γωνία(GCB) και η συμμετρόδιάμεσος s_c είναι η συμμετρική ως προς την διχοτόμο της διαμέσου AG του ABC από το C.

[2] Επιπλέον όλες οι παράλληλες της DE θα τέμνουν τις πλευρές a, b σε σημεία E*, D*, έτσι ώστε το μέσον M του D*E* να περιέχεται στην συμμετροδιάμεσο CF. Όλα αυτά τα τετράπλευρα ABE*D* είναι κυκλικά και από την ισότητα των γωνιών στα B, D και C βλέπουμε ότι η εφαπτόμενη του περικύκλου στο C είναι παράλληλος της DE, και καθορίζει την κατεύθυνση των αντιπαραλλήλων της πλευράς AB του τριγώνου.

[3] Από την ιδιότητα της CF, να διχοτομεί κάθε ευθεία παράλληλο της t_c, βλέπουμε ότι οι ευθείες (a, b, s_c, t_c) σχηματίζουν μιάν αρμονική δέσμη (δες Αρμονική δέσμη).

[4] Τα τρίγωνα {AGC, CGB} έχουν ίσα εμβαδά και έχουμε:
|GG_a||a| = |GG_b||b| or |GG_a|/|GG_b| = |b|/|a| = |FF_b|/|FF_a|.
Όπου F_a, F_b, G_a, G_b συμβολίζουν τις προβολές των F και G στις πλευρές του τριγώνου και |a|=|BC|, |b|=|AC| είναι τα μήκη των πλευρών.
Έτσι η συμμετροδιάμεσος από το C χαρακτηρίζεται ως ο τόπος των σημείων M που έχουν αποστάσεις από τις πλευρές {CA, CB} του τριγώνου ανάλογες των μηκών αυτών των πλευρών.

[5] Τούτο συνεπάγεται αμέσως (δες Θεώρημα του Ceva ) ότι οι τρεις συμμετροδιάμεσοι ευθείες διέρχονται από κοινό σημείο που λέγεται συμμετροδιάμεσο σημείο ή σημείο Lemoine του τριγώνου.

[6] Εάν T είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων του περικύκλου στις κορυφές A και B, βλέπουμε ότι:
|TT_a|/|TT_b| = (r*sin(A))/(r*sin(B)) = |a|/|b|,
άρα το σημείο Τ είναι σημείο της συμμετροδιαμέσου από το C.

[7] Το άλλο σημείο τομής C' της συμμετροδιαμέσου με τον περίκυκλο μαζί με τα σημεία A, B, C σχηματίζει ένα αρμονικό τετράπλευρο, δηλαδή, τετράπλευρο γιά το οποίο (A,B,C,C') = -1 (δες Αρμονικό τετράπλευρο ).
Η κατεύθυνση της DE λέγεται αντιπαράλληλος της κατεύθυνσης της πλευράς AB του τριγώνου. Δείτε το αρχείο Αντιπαράλληλοι γιά μιά άλλη άποψη αυτού του θέματος.
Δείτε το αρχείο Συμμετροδιάμεσος και Vecten γιά μιά εικόνα που συνδέει το συμμετροδιάμεσο σημείο με το σχήμα του Vecten.

Δείτε ακόμη

Αντιπαράλληλοι
Αρμονικό τετράπλευρο
Αρμονική δέσμη
Θεώρημα του Ceva
Συμμετροδιάμεσος ευθεία
Συμμετροδιάμεσος και Vecten

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/