Arbelos

Άρβηλος

Άρβηλος (αρβήλα, ονομάζεται και το αντίστοιχο μαχαίρι του τσαγκάρη με το οποίο κατασκευάζεται η αρβήλα): είναι το σχήμα ΑΒC τριών ανα δύο εφαπτόμενων ημικυκλίων, των οποίων τα κέντρα είναι συγγραμμικά.
Άσκηση Να κατασκευαστεί μιά άρβυλος ΑΒC, περιέχουσα μια αλυσσίδα διαδοχικά εφαπτόμενων κύκλων.

1) Κατασκευάστε μια δέσμη διαδοχικών εφαπτόμενων κύκλων, οι οποίοι είναι εφαπτόμενοι σε δύο παράλληλες e1, e2, δια των Β και C.
2) Αντιστρέψτε αυτή την δέσμη, ως προς ένα κύκλο c, του οποίου το κέντρο είναι στην ευθεία BC και είναι ορθογώνιος στον κύκλο με διάμετρο BC.

H αντιστροφή μετασχηματίζει τις δύο ευθείες στους δύο κύκλους με διαμέτρους ΑΒ και ΑC αντίστοιχα. Η οικογένεια των ίσων κύκλων, μεταξύ των δύο ευθειών μετασχηματίζεται στην αλυσσίδα των κύκλων που γεμίζουν την άρβηλο.

Aριθμήστε τους εγγεγραμμένους κύκλους c₀, c₁, c₂, c₃, ..., ξεκινώντας με την βάση c₀ (ημικύκλιο στο BC). Ένα θεώρημα του Steiner (ακριβέστερα του Πάππου, ο Steiner έδωσε μια απλούστερη απόδειξη, βασισμένη στην αντιστροφή και χρησιμοποιώντας αυτό το σχήμα) λέει ότι η απόσταση d_n του κέντρο του c_n, από την ευθεία BC είναι
d_n = 2*n*r_n (όπου r_n η ακτίνα του κύκλου c_n).

[1] Αποδείξτε ότι τα κέντρα των κύκλων c_i είναι επί της έλλειψης με εστίες {Ο₁, Ο₂} και μείζονα άξονα
2a = (k₁+k₂)/2, όπου {k₁, k₂} οι ακτίνες των κύκλων με διαμέτρους {AB, ΑC} αντίστοιχα.
[2] Αποδείξτε ότι η ευθεία e₁, ο κύκλος c και ό κύκλος με διάμετρο AC τέμνονται στο ίδιο σημείο D και το συμμετρικό του ως προς την ευθεία ΑΒ.

Δείτε ακόμη

Κέντρα ομοθεσίας
Αντιστροφή

Βιβλιογραφία

Steiner, J. Werke Bd. I. New York, Chelsea, 1971, pp. 47-51.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/