Δοθέντος τριγώνου ABC, υπάρχει μία ακριβώς υπερβολή εφαπτόμενη της πλευράς της AC στο μέσον της M και έχουσα τούτο ως ασυμπτωτικό , δηλ. έχουσα το B ως κέντρο της υπερβολής και τις άλλες πλευρές BA, BC ως ασύμπτωτες.
Η υπερβολή ορίζεται μονοσήμαντα από ένα σημείο της (M) και την θέση των εστιών της D και E. Τούτο γίνεται ως εξής:
[1] Φέρε την διχοτόμο BD της γωνίας του τριγώνου στο B.
[2] Κατασκεύασε τον
κύκλο, του οποίου τα σημεία στο τόξο CDA βλέπου το τμήμα AC υπο γωνία =
γων(EBA).
[3] Τα σημεία τομής D, E αυτού του κύκλου με την διχοτόμο BD είναι οι εστίες της υπερβολής.
Από την κατασκευή του D, έπεται ότι τα τρίγωνα EBA, CDA και CBE είναι όμοια. Οι γωνίες γων(CAD) = γων(EAB), άρα το B είναι το μέσον της ED. Η κατασκευή εδώ είναι η αντίστροφη αυτής που εξετάσθηκε στο έγγραφο AsymptoticTriangle.html .
Παρατήρηση Η προηγούμενη αναφορά και η παρούσα ιδιότητα συνεπάγονται ότι τρίγωνο ABC με σταθερή γωνία (ABC) και μεταβλητή πλευρά AC, όμως έτσι ώστε το εμβαδόν ε(ABC) να μένει σταθερό έχει την πλευρά του AC εφαπτόμενη σταθεράς υπερβολής.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Υπερβολή με δοθέν ασυμπτωτικό τρίγωνο ![[0_0]](AsymptoticTriangleInv_files/AsymptoticTriangleInv_0_0_0.png)
![[0_1]](AsymptoticTriangleInv_files/AsymptoticTriangleInv_0_0_1.png)
![[1_0]](AsymptoticTriangleInv_files/AsymptoticTriangleInv_0_1_0.png)
![[1_1]](AsymptoticTriangleInv_files/AsymptoticTriangleInv_0_1_1.png)