BasicQuadrangleIdentity2

Βασική ταυτότητα γιά τετράπλευρα (II)

Θεώρησε τετράπλευρο q = ABCD. Οι επόμενες παρατηρήσεις οδηγούν στην απόδειξη μιάς ταυτότητας για τετράπλευρα, που προτάθηκε από τον Μιχάλη Μεταξά:
εμβαδόν( q )/tan(φ) = (1/4)(|AD|²+|BC|²-|AB|²-|DC|²).

Θεώρησε το τετράπλευρο q = ABCD. Φέρε παραλλήλους προς τις διαγωνίους ώστε να σχηματισθεί το παραλληλόγραμμο p = FGHI. Όρισε τους περικύκλους των τριγώνων AED, EDC, CEB και BEA. Απόδειξε τα επόμενα:
1) Το τετράπλευρο με κορυφές τα κέντρα αυτών των κύκλων p = IJKL είναι παραλληλόγραμμο όμοιο του p.
2) Τα τρίγωνα EKL, ELI, EIJ, EJK είναι αντίστοιχα όμοια των ADC, BAD, CBA, DCB.
3) Ο λόγος ομοιότητας αυτών των τριγώνων (και των παραλληλογράμμων) είναι 2sin(φ).
4) (1/2)|AC||BD|sin(φ) = εμβαδόν( q ) και |AC||BD|cos(φ) = |MH|² - |MG|² = (|NL|² - |NK|²)4sin²(φ) = (|JL|² - |IK|²)sin²(φ) = 2(|EL|²+|EJ|² - |EI|² - |EK|²)sin²(φ) = (1/2)(|AD|²+|BC|²-|AB|²-|DC|²).
5) εμβαδόν( q )/tan(φ) = (1/4)(|AD|²+|BC|²-|AB|²-|DC|²).
6) 4|AC|²|BD|² - 16*εμβαδόν(q)² = (|AD|²+|BC|²-|AB|²-|DC|²)².
7) Συμπέρανε ότι ένα τετράπλευρο είναι [ορθοδιαγώνιο] μόνο και μόνον άν (|AD|²+|BC|²-|AB|²-|DC|²) = 0.

Δες το Τετράπλευρο ορθοδιαγώνιο γιά μιά συζήτηση περί ορθοδιαγωνίων τετραπλεύρων.
Στο Τετραπλεύρου βασική ταυτότητα περιέχεται μιά ακόμη βασική ταυτότητα γιά τετράπλευρα.

Δείτε ακόμη

Τετραπλεύρου βασική ταυτότητα
Τετράπλευρο ορθοδιαγώνιο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/