BasicQuadrangleIdentity

Βασική ταυτότητα τετραπλεύρων

Σε ένα τετράπλευρο με σταθερά μήκη πλευρών a, b, c, d, η έκφραση a*b*cos(x) - c*d*cos(y), όπου x είναι η γωνία των (a,b) και y η γωνία των (c,d), παραμένει σταθερή και ίση με (1/2)(a²+b²-c²-d²).

a*b*cos(x) είναι η δύναμις του F ως προς τον κύκλο διαμέτρου EK.
c*d*cos(y) είναι η δύναμις του N ως προς τον ίδιο κύκλο.
Άρα η έκφραση αυτή είναι ίση με την διαφορά: (PF)² - (PN)². Τούτη, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις διαμέσους PF, PN των τριγώνων EFK και ENK αντίστοιχα, υπολογίζεται ίση με (1/2)(a²+b²-c²-d²).

Ο τύπος της διαμέσου: a² + b² = 2*m² + (c²)/2, όπου m είναι το μήκος της διαμέσου προς την πλευρά c του τριγώνου με πλευρές a, b, c. Τούτο αποδεικνύεται εύκολα, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πυθαγόρα.

Δείτε το αρχείο Τετραπλεύρου κυκλικού ιδιότητα μεγιστοποίησης για μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή αυτής της ταυτότητας, που σχετίζεται με μιά ιδιότητα μεγιστοποίησης των κυκλικών τετραπλεύρων.

Δείτε το αρχείο Τετραπλεύρων βασική ταυτότητα (ΙΙ) για μιά άλλη βασική ταυτότητα, που προτάθηκε και αποδείχθηκε από τον Μιχάλη Μεταξά.

Δείτε ακόμη

Τετραπλεύρων βασική ταυτότητα (ΙΙ)
Τετραπλεύρου κυκλικού κατασκευή
Τετραπλεύρου κυκλικού ιδιότητα μεγιστοποίησης

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/