CarnotGeneral

1. Γενικευμένο πρόβλημα του Carnot

Να βρεθεί πολύγωνο p=B₁...B_N του οποίου οι πλευρές να διέρχονται από ορισμένα δοθέντα σημεία Α₁, ..., Α_Ν (στο επόμενο σχήμα τα σημεία αυτά είναι κορυφές ενός τριγώνου) και να διαιρούνται από αυτά σε λόγους αντίστοιχα {k₁, k₂, ..., k_N}.

H βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομοιθεσίες {Η₁(Α₁, k₁), H₂(A₂, k₂), ...} με κέντρα τα δοθέντα σημεία και λόγους τους δοθέντες. Γνωρίζουμε ότι, εν γένει, η σύνθεση Η = Η_Ν...Η₁ αυτών των ομοιοθεσιών είναι πάλι ομοιοθεσία (δες Homothety.html ). Έτσι αν υπάρχει πολύγωνο p=B₁...B_N που λύνει το πρόβλημα θα πρέπει οι κορυφές του να προκύπτουν από την Β₁ εφαρμόζοντας διαδοχικά τις ομοιοθεσίες {Η₁, Η₂, ...}. Δηλαδή θα είναι Β₂=Η₁(Β₁), Β₃=Η₂(Β₂), ...κτλ.. Τέλος γιά να κλείνει το πολύγωνο θα πρέπει Η_Ν(Β_Ν) = Β₁ και συνολικά Η(Β₁) = Η_Ν(Η_Ν-1(...Η₁(Β₁)...))) = Β₁. Με άλλα λόγια το Β₁ θα πρέπει να είναι σταθερό σημείο της ομοιοθεσίας Η, άρα να συμπίπτει με το κέντρο της. Γιά όλες τις άλλες θέσεις του B₁ το προκύπτον πολύγωνο θα είναι μή-κλειστό.

2. Ειδικές περιπτώσεις

Ειδικές περιπτώσεις εμφανίζονται όταν το γινόμενο των ομοιοθεσιών είναι η ταυτοτική απεικόνιση ή μία γνήσια μεταφορά. Κριτήριο γιά αυτό είναι το γινόμενο των λόγων ομοιοθεσίας k=k₁*...*k_N, το οποίο θα πρέπει να είναι k=1. Υπάρχουν δύο δυνατότητες:
[1] k=1 και η σύνθεση των ομοιοθεσιών είναι μιά γνήσια μεταφορά κατά μη-μηδενικό διάνυσμα v. Τότε το πρόβλημα δεν έχει καμία λύση.
[2] k=1 και η σύνθεση των ομοιοθεσιών Η είναι η ταυτοτική απεικόνιση. Τότε κάθε σημειο Ρ του επιπέδου είναι σταθερό σημείο της Η και το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.

[1] Περίπτωση κατά την οποία k₁k₂k₃ = 1. Η σύνθεση των τριών ομοιοθεσιών είναι γνήσια μεταφορά και το πρόβλημα δεν έχει καμία λύση. Το αποτέλεσμα Β₄ = Η(Β₁) είναι πάντα Β₄ = Β₁ + v και το πολύγωνο είναι πάντοτε ανοικτό.

[2] Περίπτωση κατά την οποία k₁k₂k₃k₄ = 1. Εδώ τα {Α₁,A₂, A₃,Α₄} είναι κορυφές παραλληλογράμμου και oι ομοιοθεσίες είναι συμμετριες ως προς τα Α_i, δηλαδή όλα τα k_i = -1. Η σύνθεση των τεσσάρων ομοιοθεσιών είναι γνήσια μεταφορά και το πρόβλημα ορίζει ένα κλειστό τετράπλευρο B₁B₂B₃B₄ που έχει ώς μέσα των πλευρών του τα {A_i} γιά κάθε σημείο B₁ του επιπέδου. Γιά αναλυτικώτερη συζήτηση αυτής της περίπτωσης δες το Πρόβλημα του Carnot .

Δείτε ακόμη

Πρόβλημα του Carnot
Ομοιοθεσίες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/