Homothety

1. Ομοιοθεσία

Δίδεται σημείο Ρ και μη-μηδενικός αριθμός k. Λέγεται ομοιοθεσία η απεικόνιση του επιπέδου στον εαυτό του που σε κάθε σημείο Χ αντιστοιχεί το Χ' επί της ΟΧ, έτσι ώστε ΟΧ'/ΟΧ =k.
Παραπάνω θεωρώ το Χ διάφορο του Ρ, στο Ρ θεωρώ ότι η απεικόνιση αντιστοιχεί το ίδιο σημείο Ρ.
Το σημείο Ρ λέγεται κέντρο της ομοιοθεσίας. Ο αριθμός k λέγεται λόγος της ομοιοθεσίας.
Συχνά την συμβολίζω με Η(Ρ,k) ή H_P,k.

2. Ομοιοθεσιών ιδιότητες

[1] Η αντίστροφη της ομοιοθεσίας Η(Ρ,k) είναι η ομοιοθεσία H(P,1/k).
[2] H ομοιοθεσία διατηρεί ευθείες και λόγους τριών σημείων επί αυτών. Δηλαδή απεικονίζει μία ευθεία L σε άλλη ευθεία L' και μάλιστα παράλληλη της L και τρία σημεία {Α,Β,C} της L που έχουν λόγο AB/BC = s απεικονίζονται σε σημεία {A',B',C'} που έχουν επίσης λόγο s: A'B'/B'C' = s.
[3] Η ομοιοθεσία απεικονίζει παράλληλες ευθείες σε επίσης παράλληλες ευθείες (διατηρεί την παραλληλία).
[4] Η ομοιοθεσία διατηρεί τις γωνίες.
[5] Η ομοιοθεσία διατηρεί τους κύκλους και τον ριζικό τους άξονα. Δηλαδή απεικονίζει κύκλους σε κύκλους και τον ριζικό άξονα δύο κύκλων στον ριζικό άξονα των κύκλων-εικόνων τους.

H απόδειξη του [1] είναι προφανής. Το [2] αποδεικνύεται αμέσως από το θεώρημα του Θαλή και τα υπόλοιπα είναι, λίγο-πολύ τετριμμένες, συνέπειες της [2].

3. Ομοιοθεσιών σύνθεση

Η σύνθεση Η'Η δύο ομοιοθεσιών Η(Ρ, k) και Η'(Ρ', k') είναι ομοιοθεσία Η''(Ρ'', k'') ή μεταφορά.

Πράγματι, θεώρησε αυθαίρετο σημείο Χ και υπόθεσε ότι Χ'=Η(Χ) και Χ''=Η'(Χ).
[1] Ας υποθέσουμε κατ' αρχήν ότι η ΧΧ'' τέμνει την ευθεία ΡΡ'. Απο το θεώρημα του Μενελάου, εφαρμοζομένου στο τρίγωνο ΡΧ'Ρ' και τέμνουσα την ΧΧ'' έπεται ότι

Οι δύο πρώτοι λόγοι εξαρτώνται έκαστος μόνο από τον αντίστοιχο λόγο ομοιοθεσίας και όχι από την θέση του Χ. Αυτό δείχνει ότι ο τρίτος λόγος είναι επίσης σταθερός και ανεξάρτητος της θέσης του Χ. Άρα η θέση του Ρ'' δεν εξαρτάται παρά μόνον από τους λόγους των δύο ομοιοθεσιών Η', Η''.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο ΧΡΡ'' και τέμνουσα την Χ'Χ'' βλέπουμε ότι και ο λόγος Ρ''Χ''/Ρ''Χ εξαρτάται μόνον από τις δεδομένες ομοιοθεσίες και όχι την ειδική θέση του Χ:

Πράγματι, ο πρώτος λόγος σύμφωνα με τον προηγηθέντα συλλογισμό δεν εξαρτάται από το Χ, το ίδιο και ο τρίτος. Άρα ο δεύτερος είναι και αυτός σταθερός και ανεξάρτητος της θέσης του Χ.
Από τις δύο αυτές εκφράσεις ξεκινώντας μπορούμε να βρούμε τις θέσεις του Ρ'' και τον λόγο k'' της ομοιοθεσίας-σύνθεσης Η" των δύο άλλων.
[2] Άν η ΧΧ'' δεν τέμνει την ΡΡ', τότε είναι παράλληλη προς αυτήν. Αυτό συμβαίνει τότε και μόνον όταν οι δύο λόγοι των ομοιοθεσιών ικανοποιούν την k₁*k₂=1. Tότε και το μήκος ΧΧ'' είναι ανεξάρτητο της θέσης του Χ και ίσο προς (1-k₂)PP'. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση η σύνθεση των ομοιοθεσιών είναι μία μεταφορά.

Παρατήρηση H δυνατότητα της σύνθεσης να είναι μεταφορά δείχνει ότι το σύνολο των ομοιοθεσιών δεν είναι ομάδα. Παρακάτω όμως αποδεικνύεται ότι η ένωση του συνόλου των ομοιοθεσιών και του συνόλου των μεταφορών είναι ομάδα.

4. Ομοιοθεσιών μη-μεταθετικότητα

Η σύνθεση ομοιοθεσιών Η(Ρ, k), Η'(Ρ', k') με διαφορετικά κέντρα είναι μη μεταθετική. Δηλαδή οι ομοιοθεσίες Η'Η και ΗΗ' είναι διαφορετικές απεικονίσεις.

Το σχήμα δείχνει την εφαρμογή των δύο συνθέσεων Η'Η και ΗΗ' σε σημείο Χ. Τα τελικά αποτελέσματα είναι διαφορετικά και μάλιστα διαφέρουν το ένα από το άλλο κατά διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία ΡΡ' και σταθερού μήκους. Με άλλα λόγια αυτό που ονομάζουμε αντιμεταθέτης των δύο απεικονίσεων: [Η,Η']=ΗΗ'-Η'Η, είναι μιά απεικόνιση μεταφοράς κατά σταθερό διάνυσμα παράλληλο της ΡΡ'.

Παρατήρηση H παραλληλία του διανύσματος μεταφοράς του αντιμεταθέτη προς την ΡΡ' σημαίνει και ότι οι λόγοι των δύο ομοιοθεσιών ΗΗ' και Η'Η είναι οι ίδιοι. Αυτό ως προς το οποίο διαφέρουν είναι τα κέντρα τους. Γιά την απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων χρειάζονται υπολογισμοί που γίνονται παρακάτω.

5. Κέντρο και λόγος της σύνθεσης

Υπολογίζω εδώ το κέντρο και τον λόγο της σύνθεσης Η''(Ρ'', k'') = Η'Η δύο ομοιοθεσιών Η(Ρ, k) και Η'(Ρ', k').

Κατ' αρχήν το κέντρο Ρ'' θα ικανοποιεί Η''(Ρ'') = Ρ'' => Η'Η(Ρ'') = Ρ'' => Η'^-1(Ρ'') = Η(Ρ''). Αυτή λύνεται διανυσματικά ως προς τον άγνωστο Ρ'':
H'^-1(P'') = P' + (1/k₂)(P''-P'),
H(P'') = P + k₁(P''-P) =>

Αυτή προσδιορίζει την θέση του P'' στην ευθεία ΡΡ'. Επίσης και τον λόγο Ρ'Ρ/Ρ'Ρ'' = (k₁k₂-1)/(k₂(k₁-1)). Αντικαθιστώντας αυτά στον δεύτερο τύπο του Μενελάου στην παράγραφο 3 βρίσκουμε μετά από μικρό υπολογισμό ότι ο λόγος ομοιοθεσίας είναι

Οι υπολογισμοί αυτοί αποδεικνύουν και τους ισχυρισμούς της προηγουμένης παραγράφου.

6. Σύνθεση ομοιοθεσίας και μεταφοράς

Η σύνθεση Η' ομοιοθεσίας Η(Ρ, k) και μεταφοράς κατά διάνυσμα v είναι ομοιοθεσία με τον ίδιο λόγο.

Συμβολίζοντας την μεταφορά κατά v με Τ_v, η προηγούμενη εικόνα δείχνει ότι η σύνθεση H' = T_vH καθώς και H''=HT_v είναι και στις δύο περιπτώσεις μία ομοιοθεσία. Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει ότι τα κέντρα {Ρ', Ρ''} των δύο ομοιοθεσιών είναι στην ευθεία (e) διά του Ρ που είναι παράλληλη του (v) και σε απόσταση:

Από το θεώρημα του Θαλή οι λόγοι ΡΧ'/ΡΧ = Ρ'Χ''/Ρ'Χ' = Ρ''Χ*/Ρ''Χ = k, που δείχνει ότι οι δύο συνθέσεις είναι όντως ομοιοθεσίες με τον ίδιο λόγο και διαφορετικά κέντρα.
Από το σχήμα προκύπτει αμέσως και ότι η διαφορά τους είναι μιά μεταφορά:
X*-X'' = H''(X) - H'(X) = (k-1)v. Σημείωσε επίσης ότι Ρ'Ρ'' = -v.

Παρατήρηση Δεδομένου ότι η σύνθεση μεταφορών είναι μεταφορά, προκύπτει ότι η ένωση του συνόλου των ομοιοθεσιών και του συνόλου των μεταφορών αποτελεί ομάδα.

7. Αλυσίδες ομοιοθεσιών

Με τον όρο αυτό εννοώ συνθέσεις ομοιοθεσιών Η = Η_Ν(Ρ_N, k_N) * ... * Η₁(P₁, k₁).
Εν γένει αυτές οι συνθέσεις είναι πάλι ομοιοθεσίες. Σε ειδικές περιπτώσεις εν τούτοις μπορούν να προκύψουν μεταφορές.
[1] Ιδιαίτερο ρόλο γιά την αλυσίδα παίζει το γινόμενο k=k₁*...*k_N. Άν το k είναι διάφορο της μονάδος, τότε η Η είναι ομοιοθεσία. Αυτή είναι η γενική περίπτωση. Ενδιαφέρον ωστόσο παρουσιάζουν και οι ειδικές περιπτώσεις όπου το k=1.
[2] 'Αν το k=1, τότε η Η μπορεί είναι η ταυτοτική ή μιά γνήσια μεταφορά.
[3] Ειδικές περιπτώσεις που αυτό δεν μπορεί να συμβεί είναι αυτές που όλοι οι λόγοι είναι ίσοι με σταθερά k (διάφορο του -1 και +1), οπότε το τελικό αποτέλεσμα είναι γνήσια ομοιοθεσία με λόγο k^N.
[4] H περίπτωση όπου όλες οι ομοιοθεσίες έχουν λόγο k=-1, είναι δηλαδή συμμετρίες ως προς σημείο οδηγούν στο κλασικό πρόβλημα του Carnot (δες Πρόβλημα του Carnot ).

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Μενελάου
Πρόβλημα του Carnot
Γενικευμένο πρόβλημα του Carnot

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/