Να βρεθεί πολύγωνο του οποίου οι πλευρές να έχουν ως μέσον τους ορισμένα δοθέντα σημεία A, B, C, ... (στο επόμενο σχήμα τα σημεία αυτά είναι κορυφές ενός μη συμμετρικού εξαγώνου).
[1] Η ιδέα-κλειδί είναι ότι η συμμετρία ως προς σημείο είναι γινόμενο δύο ανακλάσεων ως προς άξονες διερχόμενους απο το κέντρο συμμετρίας και τεμνομένους ορθογώνια. Εκτός αυτού, οι άξονες μπορούν να περιστραφούν περί το σημείο τομής τους, έτσι ώστε ένας εξ' αυτών να είναι παράλληλος προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Τούτο συνεπάγεται ότι η σύνθεση δύο συμμετριών είναι μιά μεταφορά.
[2] Έτσι διαιρώντας την σύνθεση 2N συμμετριών σε ζεύγη: f = (f1*f2)*(f3*f4)* ... κτλ. παίρνουμε μία σύνθεση από N μεταφορές (τα μπλέ ευθ. τμήματα), που είναι πάλι μεταφορά.
[3] Εάν η μεταφορά (GM στην περίπτωσή μας) είναι , μη-μηδενική (όπως η περίπτωση του σχήματος) τότε δεν υπάρχει πολύγωνο που να έχει τα δοθέντα σημεία ως μέσα. Αν υπήρχε, τότε ξεκινώντας από μιά κορυφή όπως η G και κάνοντας τις συμμετρίες ως προς τα δοθέντα σημεία θα παίρναμε τις διαδοχικές κορυφές του πολυγώνου και τελικά θα επιστρέφαμε στο G, πράγμα που θα σήμαινε ότι η προαναφερθήσα μεταφορά (GM) θα ήταν μηδενική.
[4] Εν γένει συνεπώς, πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών δεν επιτρέπουν λύση του προβλήματος αυτού. Μιά ειδική περίπτωση εξετάζεται στην επόμενη παράγραφο.
[5] Η περίπτωση πολυγώνων περιττού αριθμού πλευρών (επιδεχομένων μονοσήμαντη λύση του προβλήματος του Carnot) αναλύεται στο έγγραφο: Συμμετρίες στις κορυφές (περιττές) .
[6] Η περίπτωση συμμετρικών πολυγώνων αρτίου αριθμού πλευρών αναλύεται στο έγγραφο: Συμμετρίες στις κορυφές (άρτιες ΙΙ) .
Δοθέντος πολυγώνου p0 = Α1...ΑΝ αρτίου πλήθους πλευρών (Ν = 2k), το πρόβλημα του Carnot έχει μία λύση, δηλαδή υπάρχει πολύγωνο p = Β1...ΒΝ με μέσα πλευρών τις κορυφές του p0, τότε και μόνον τότε αν το p0 προκύπτει από άλλο κλειστό πολύγωνο q0 με πλήθος πλευρών k στις πλευρές του οποίου κατασκευάζονται παραλληλόγραμμα.
Το σχήμα δείχνει την απόδειξη σε μιά ειδική περίπτωση. Όμως η γενική περίπτωση είναι εύκολη γενίκευση αυτής εδώ. Αν το p είναι κλειστό, τότε και το πολύγωνο p1 = Β1Β3Β5... που αποτελείται από τις κορυφές περιττής τάξης θα είναι κλειστό και αντίστροφα. Αν αυτό το πολύγωνο είναι κλειστό, τότε και το p θα είναι κλειστό. Αν τώρα το p1 είναι κλειστό ορίζεται αμέσως το q0. Αυτό γίνεται παίρνοντας αυθαίρετο σημείο Q και φέρνοντας διαδοχικά παράλληλες προς τις πλευρές του p1 που είναι διπλάσιες σε μήκος και παράλληλες προς μη-διαδοχικές πλευρές του p0.
Παρατήρηση Από τα προηγηθέντα προκύπτει ότι στην περίπτωση άρτιου πλήθους πλευρών του δοθέντος p0, εάν το πρόβλημα του Carnot έχει μία λύση, τότε έχει άπειρες. Γιά κάθε δε σημείο Β1 του επιπέδου υπάρχει μία και μοναδική λύση του προβλήματος. Δηλαδή ένα και μοναδικό πολύγωνο p=B1...BN που έχει μέσα πλευρών του τις κορυφές του p0.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Πρόβλημα του Carnot ![[0_0]](Carnot_files/Carnot_0_0_0.png)
![[0_1]](Carnot_files/Carnot_0_0_1.png)
![[0_0]](Carnot_files/Carnot_1_0_0.png)
![[0_1]](Carnot_files/Carnot_1_0_1.png)