Δοθήσης κωνικής (c) και N (=4 εδώ) σημείων A, B, C, ... , να εγγραφεί πολύγωνο στην (c) του οποίου οι πλευρές A'B', B'C', ... περνούν αντίστοιχα από τα δοθέντα σημεία A, B, ... .
Μιά απλή λύση [Berger: Geometry II, p. 181], μπορούμε να πάρουμε χρησιμοποιώντας ενελικτικές ομογραφίες, που διατηρούν την (c), αναλλοίωτο και των οποίων τα αντίστοιχα σημεία Fregier είναι A, B, C, ... .
Στο προηγούμενο παράδειγμα (N=4), υπάρχουν τέσσερις ομογραφίες f1, f2, f3, f4, με αντίστοιχα σημεία Fregier A, B, C, και D. Η σύνθεσή τους f = f4*f3*f2*f1 είναι μια καλά ορισμένη ομογραφία και έχει το Α' σαν σταθερό σημείο (f(A')=A').
Έτσι το σημείο Α' μπορεί να ευρεθεί, προσδιορίζοντας τα σταθερά σημεία της f (και παίρνοντας την τομή του συνόλου τους με την (c)). Μόλις προσδιορισθεί το Α', τα υπόλοιπα υπολογίζονται εύκολα, ενώνοντας το Α' με το Α και ευρίσκοντας το Β' ως τομή της (c) με την AA' κ.ο.κ.
[1] Οι ομογραφίες f1, f2, ... που αναφέρονται παραπάνω συμπίπτουν με τις αρμονικές προοπτικότητες που ορίζονται από τα σημεία Α, Β, ... . Οι προοπτικότητες αυτές έχουν αντίστοιχους άξονες τις πολικές αυτών των σημείων ως προς την δοθείσα κωνική. Έτσι η κατασκευή τους είναι εύκολη.
[2] Η σύνθεση f των προηγουμένων προοπτικοτήτων είναι μιά ομογραφία που διατηρεί την κωνική και τα σταθερά σημεία της περιέχονται στον άξονά της που προσδιορίζονται από τρία σημεία και τις εικόνες τους (γιά την κατασκευή του άξονα της f δες ’ξονας ομογραφίας ). Συμπεραίνουμε ότι το πρόβλημα έχει το πολύ δύο λύσεις ανάλογα με το πόσα είναι τα σημεία τομής της κωνικής με τον άξονα της f.
[3] Για τον ορισμό ενελικτικών ομογραφιών που διατηρούν την κωνική δες το αρχείο Ενέλιξη Fregier .
[4] Η λύση του προβλήματος του Castillon με (c) κύκλο και εγγεγραμμένο τρίγωνο εξετάζεται στο έγγραφο: Castillon γιά τρίγωνο και κύκλο .
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Πρόβλημα του Castillon ![[0_0]](Castillon_files/Castillon_0_0_0.png)
![[0_1]](Castillon_files/Castillon_0_0_1.png)