[alogo] Πρόβλημα Castillon γιά κύκλο και τρίγωνο

Δοθέντος του κύκλου (c) και τριών σημείων Α, Β, Γ, να κατασκευασθεί τρίγωνο Α*Β*Γ* , εγγεγραμμένο στον κύκλο (c), έτσι ώστε οι πλευρές του να περνούν από τα δοθέντα σημεία: Α*Β* από το Γ, Β*Γ* από το Α και Γ*Α* από το Β.
Υπάρχουν δύο λύσεις εν γένει, τρίγωνα Α1Β1Γ1 και Α2Β2Γ2.

[0_0] [0_1] [0_2]

Δοθέντος του (c) και των σημείων ΑΒΓ ευρίσκουμε την σύνθεση f=f3*f2*f1 των ομογραφικών ενελίξεων Fregier με μεμονωμένα σταθερά σημεία (Fregier σημεία) τα δοθέντα Α, Β, Γ, αντίστοιχα. Οι ομογραφίες αυτές συμπίπτουν με τον περιορισμό στον κύκλο (c) των αρμονικών προοπτικοτήτων (δες Αρμονική προοπτικότητα ) που ορίζονται από τα σημεία {Α,Β,Γ} και τις αντίστοιχες πολικές τους ευθείες ως προς τον κύκλο.
Αν υποθέσουμε ότι το τρίγωνο A1B1Γ1 είναι λύση του προβλήματος, τότε η σύνθεση (f) των παραπάνω ενελίξεων αφήνει το Α1 σταθερό, άρα το σημείο αυτό ευρίσκεται ως τομή του κύκλου και του άξονα της (f) (δες ’ξονας ομογραφίας ).
Έχοντας το Α1, το Β1 ευρίσκεται ως τομή του κύκλου με την ΑΑ1 και το Γ1 ως τομή του κύκλου με το ΒΒ1.
Υπάρχουν το πολύ δύο λύσεις, ανάλογα με το πλήθος των σημείων τομής του άξονα ομογραφίας της (f) με τον κύκλο.

Παρατήρησεις
[1] Οι ενελίξεις {f1, f2, f3} περιοριζόμενες στον κύκλο (c) συμπίπτουν με τις αντιστροφές ως προς τρείς κύκλους {c1, c2, c3} με κέντρα αντίστοιχα στα σημεία {Α, Β, Γ} και ορθογώνιους προς τον (c). Έτσι το πρόβλημα μπορεί να μελετηθεί και στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας αφού προηγηθεί η μελέτη της σύνθεσης τριών αντιστροφών όπως οι προηγούμενες. Ωστόσο το φυσιολογικό πλαίσιο του προβλήματος, όπως φαίνεται και από την επόμενη παρατήρηση, είναι αυτό της προβολικής γεωμετρίας.
[2] Το γενικώτερο πρόβλημα του Castillon γιά την εγγραφή πολυγώνου σε κωνική, έτσι ώστε οι πλευρές του να διέρχονται από δοθέντα σημεία λύνεται παρόμοια (δες Θεώρημα του Castillon ).

Δείτε ακόμη

Αρμονική προοπτικότητα
’ξονας ομογραφίας
Θεώρημα του Castillon

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©