Η αρμονική προοπτικότητα είναι ειδική περίπτωση προβολικού μετασχηματισμού (δες Προβολικότητα ), γνωστή επίσης με το όνομα αρμονική ομολογία. Ο ορισμός της περιλαμβάνει ένα σταθερό σημείο O, ονομαζόμενο κέντρο, και μιά ευθεία (a), μη περιέχουσα το O, ονομαζόμενη άξωνας της προοπτικότητας.
Η προοπτικότητα με αυτά τα δεδομένα ορίζεται ως εξής: Γιά κάθε σημείο X, διαφορετικό του κέντρου O, ορίζεται το σημείο τομής HX της ευθείας [OX] και του άξονα (a). Θέτουμ F(X) = Y, όπου Y επί της ευθείας [OX], είναι το σημείο γιά το οποίο (O,HX,X,Y) = -1, δηλαδή τα X και Y είναι αρμονικά συζυγή των O και HX.
Οι επόμενες είναι οι κύριες ιδιότητες της αρμονικής προοπτικότητας:
[1] Το σημείο O και τα σημεία της ευθείας (a) είναι τα μόνα σταθερά σημεία της F.
[2] Ισχύει F2 = 1 , δηλαδή η F είναι μιά ενελικτική απεικόνιση (ενέλιξη).
[3] Μιά ενελικτική προβολικότητα ορίζεται πλήρως από δύο σημεία και τις εικόνες τους (λέμε ομόλογα σημεία): (X,Y) και (X',Y').
[4] Κάθε ενελικτική προβολικότητα είναι μιά αρμονική προοπτικότητα.
Γιά την απόδειξη του [3] θεώρησε (στο παρακάτω σχήμα) τα σημεία τομής {O, O'} των ζευγών ευθειών {(XY, X'Y') , (XX',YY')} αντίστοιχα. Όρισε την ευθεία (a) ως την αρμονική συζυγή της OO' ως προς το ζεύγος ευθειών (O'X, O'Y). Η αρμονική προοπτικότητα F ορίζεται πλήρως από το O και την (a) και απεικονίζει το X στο Y και το X' στο Y'.
Το ίδιο σχήμα μπορεί να χρησιμεύσει στην απόδειξη του [4]. Πράγματι, δοθείσης ενελικτικής προβολικότητας G, διάλεξε δύο σημεία X, X' και τις εικόνες αντίστοιχα Y = G(X), Y' = G(X'). Όρισε όπως προηγουμένως την F, απεικονίζουσα το X στο Y και το X' στο Y', και δείξε ότι η σύνθεση F-1*G = 1 (την ταυτοτική).
Το προηγούμενο σχήμα έχει μιά αξιοσημείωτη συμμετρία. Πράγματι, μπορεί κανείς να ανταλλάξει τους ρόλους των X' και Y και να εφαρμόσει το ίδιο επιχείρημα ορίζοντας προβολικότητα F', απεικονίζουσα το X στο X', το Y στο Y' και έχουσα το O' και την ευθεία (c) ως κέντρο και άξονα αντιστοίχως (παρακάτω σχήμα). Η ευθεία (c) όντας η αρμονική συζυγής της OO' ως προς το ζεύγος ευθειών (OX, OX').
Από τις γνωστές ιδιότητες των τετραπλεύρων (δες Αρμονικότητα ) οι ευθείες (a) και (c) τέμνονται σε σημείο O'', που συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραπλεύρου XYY'X'.
[1] Κάθε κωνική (c) έχουσα τον άξονα (a) και το κέντρο O ως πολική και αντίστοιχο πόλο, παραμένει αναλλοίωτη κάτω από την δράση της F. Δείτε το Ενέλιξη Fregier γιά μια συζήτηση αυτού του θέματος.
[2] Υπάρχει και μιά τρίτη αρμονική προοπτικότητα F'' συνδεδεμένη με το προηγούμενο σχήμα, και έχουσα το O'' και το (b) ως κέντρο και άξονα αντιστοίχως. Το σύστημα αυτό των τριών αρμονικών προοπτικοτήτων εξετάζεται στο Τετρασημείο .
[3] Αρμονικές προοπτικότητες είναι ειδικές περιπτώσεις ομολογιών ή προοπτικοτήτων, γιά τις οποίες ο συντελεστής ομολογίας είναι k = -1. Οι ιδιότητες των γενικών προοπτικοτήτων μελετώνται στο Προοπτικότητα .
[4] Χρησιμοποιώντας ως μοντέλο του προβολικού επιπέδου την προβολικοποίηση του ευκλειδείου επιπέδου, οι αρμονικές προοπτικότητες με άξονα την ευθεία στο άπειρο, περιοριζόμενες στο ευκλείδειο επίπεδο, συμπίπτουν με τις συμμετρίες ως προς σημείο (το κέντρο Ο της προοπτικότητας).
Δείτε μιά χρήση αυτής της παρατήρησης στο αρχείο Ανάλυση έλασης .
[5] Μιά άλλη ειδική περίπτωση αρμονικής προοπτικότητας
είναι όταν το κέντρο Ο είναι σημείο στο άπειρο, αντίστοιχο μιάς κατεύθυνσης (e)
του ευκλειδείου επιπέδου. Τότε γιά κάθε σημείο Χ του επιπέδου το
Y=F(X) ευρίσκεται τέμνοντας στο ΗΧ τον άξονα (a) με
την παράλληλο από το Χ προς την (e) και παίρνοντας το Υ συμμετρίκά του Χ ως προς ΗΧ.
[6] Μιά ειδική περίπτωση της προηγουμένης ειδικής περίπτωσης είναι όταν η κατεύθυνση (e) είναι κάθετη στην (a). Τότε η αρμονική προοπτικότητα, περιοριζόμενη στο ευκλείδειο επίπεδο, συμπίπτει με τον κατοπτρισμό ως προς την ευθεία (a).
[7] Όπως οι κατοπτρισμοί είναι οι απλούστερες ευκλείδειες ισομετρίες και κάθε άλλη ευκλείδεια ισομετρία γράφεται ως σύνθεση (τριών το πολύ) κατοπτρισμών, έτσι και οι αρμονικές προοπτικότητες μπορούν να θεωρηθούν ως γενικεύσεις των κατοπτρισμών στο προβολικό επίπεδο και αποδεικνύεται ότι και γιά αυτές ισχύει το αντίστοιχο θεώρημα παράστασης: κάθε προβολικότητα αναλύεται σε μιά σύνθεση (έξι το πολύ) αρμονικών προοπτικοτήτων (δες Ανάλυση προβολικότητας σε προοπτικότητες ).
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Αρμονική προοπτικότητα ![[0_0]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_0_0_0.png)
![[0_1]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_0_0_1.png)
![[0_2]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_0_0_2.png)
![[0_0]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_1_0_0.png)
![[0_1]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_1_0_1.png)
![[0_0]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_2_0_0.png)
![[0_1]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_2_0_1.png)
![[0_2]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_2_0_2.png)
![[0_0]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_3_0_0.png)
![[0_1]](Harmonic_Perspectivity_files/Harmonic_Perspectivity_3_0_1.png)