Centroids

Κέντρα βάρους

Στις πλευρές τριγώνου ABC κατασκευάζουμε τρίγωνα όμοια προς σταθερό τρίγωνο DEF, ως εις το σχήμα. Δείξε ότι το προκύπτον τρίγωνο GHI έχει το ίδιο κέντρο βάρους με το ABC.

Το τρίγωνο CGA μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από το BCH μέσω στροφής κατά την γωνία του τριγώνου ABC στο C και ομοιοθεσίας του προκύπτοντος τριγώνου. Συνέπεια αυτής της θεώρησης είναι ότι αντίστοιχες πλευρές των δύο τριγώνων τέμνονται κατά την γωνία(C). Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για τα άλλα δύο ζεύγη τριγώνων. Συμπεραίνει λοιπόν κανείς άμεσα το εξής.
Σχεδίασε το παραλληλόγραμμο CHBJ. Τα τρίγωνα CGJ και IBJ είναι όμοια του τριγώνου ABC.
Πράγματι, η γωνία(JCG) είναι ίση προς την γωνία(BCA) και οι λόγοι GC/CJ = AC/CB. Συγκρίνοντας λοιπόν μήκη και γωνίες, έπεται ότι το AGJI είναι παραλληλόγραμμο. Τούτο συνεπάγεται ότι το BJI είναι όμοιο του ABC.
Ο αρχικός ισχυρισμός έπεται θεωρόντας το GHI σαν αποτέλεσμα πρόσθεσης ελευθέρων διανυσμάτων στις κορυφές του τριγώνου ABC.
Πράγματι, το GHI προκύπτει προσθέτοντας στις αντίστοιχες κορυφές του ABC τα διανύσματα CG (στο C), GJ (στο A) και JC (στο B). Επειδή αυτά τα διανύσματα είναι πλευρές του CGJ, το άθροισμά τους είναι μηδέν και η απόδειξη προκύπτει εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα που αναφέρεται στο Κέντρα βάρους .

Μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή αυτής της ιδιότητας περιέχεται στο Πρώτο τρίγωνο του Brocard.

Δείτε ακόμη

Κέντρα βάρους
Πρώτο τρίγωνο του Brocard

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/